Serie di funzioni: differenze tra le versioni

Inoltre, la serie di funzioni <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> si dice '''assolutamente''' convergente in <math>I\,\!</math> se e solo se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|</math> converge puntualmente.

 

<math>\exists (M_n)_{n \in \N}, M_n\ge 0 : |f_n(x)|\le M_n, \ \forall x \in I, \forall n \in \N, \ \sum_{k=1}^{\infty}M_k<+\infty</math>

 

 

===Criteri di Cauchy per le serie di funzioni===

Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri:

 

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

<math>\forall x \in I, \forall \varepsilon>0, \exists m \in \N : |f_{n+1}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|<\varepsilon, \ \forall n>m, \forall p \in \N</math>

}}

 

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

<math>\forall \varepsilon>0, \exists m \in \N : |f_{n+1}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|<\varepsilon, \ \forall x \in I, \forall n>m, \forall p \in \N</math>

}}

*Sia <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k\,\!</math> una serie di funzioni che converge totalmente in <math>I\,\!</math>. Sia <math>(M_n)_{n \in \N}, M_n\ge 0 : |f_n(x)|\le M_n, \ \forall x \in I, \forall n \in \N, \ \sum_{k=1}^{\infty}M_k<+\infty</math>.

 

Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|\,\!</math>, sia per <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k\,\!</math>, ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine <math>f_n\,\!</math> converge sia assolutamente, sia uniformemente in <math>I\,\!</math>, ossia la tesi. {{endproof}}

 

}}

====Dimostrazione====

Quindi, <math>\forall n \in \N\,\!</math>, <math>f_n\,\!</math> ha un maggiorante che converge. Tuttavia, <math>\sup_{x \in I} |f_n(x)|\le M_n, \forall n \in \N</math>, poiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.{{endproof}}

 

===Teorema di integrazione per le serie===

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

<center><math>\int_{a}^{b} \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)\, dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b} f_k(x)\, dx</math></center>

}}

===Teorema di derivazione per le serie===

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

<center><math>\left(\sum_{k=1}^{\infty}f_k\right)'=\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math></center>

}}

}}

====Dimostrazione====

La serie numerica di termine generale <math>M_n=M(|\eta|/|\xi|)^n\,\!</math> è una serie geometrica di ragione strettamente minore di <math>1\,\!</math>, che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni <math>[-\!|\eta|,|\eta|]\subset]\!-\!|\xi|,|\xi|[\,\!</math>, e quindi, scelti <math>a,b \in [-\!|\eta|,|\eta|] : a<b</math>, la serie converge totalmente in ogni <math>[a,b]\subseteq[-\!|\eta|,|\eta|]\subset]\!-\!|\xi|,|\xi|[\,\!</math>, da cui la tesi.

 

===Teorema 2===

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

*<math>\rho=0 \Leftrightarrow X=\{0\}\,\!</math>

*<math>\rho=+\infty \Leftrightarrow X=\R</math>

I primi due * sono banalmente dimostrabili.

 

Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto <math>\xi\,\!</math> tale che <math>|\xi|>\rho\,\!</math>, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni <math>x \in [\rho,|\xi|[</math>, che contraddice il fatto che <math>\rho=\sup X\,\!</math>, da cui l'assurdo.

 

 

====Dimostrazione====

Se <math>l=0\,\!</math>, allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni <math>x \in \R</math>, e quindi <math>\rho=+\infty\,\!</math>.

Se <math>l=+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in <math>0\,\!</math>, e quindi <math>\rho=0\,\!</math>.

 

====Dimostrazione====

Se <math>l=0\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni <math>x \in \R</math>, e quindi <math>\rho=+\infty\,\!</math>.

Se <math>l=+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in <math>0\,\!</math>, e quindi <math>\rho=0\,\!</math>.

 

====Dimostrazione====

La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti <math>((n+1)a_{n+1})_{n \in \N_0}\,\!</math>, ossia la serie derivata, converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\le\rho'\,\!</math>.

 

La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> converge, perché è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\ge\rho'\,\!</math>.{{endproof}}

 

===Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze===

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

Allora risulta anche: <math>f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}ka_kx^{k-1}, \ \forall |x|<\rho, \ \int_0^t f(t)dt = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}, \ \forall |x|<\rho</math>

}}

 

===Serie di potenze generalizzato===

Ponendo <math>y=x-x_0\,\!</math>, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se <math>\rho\,\!</math> è il raggio di convergenza della serie di potenze <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k</math>, allora la serie di punto iniziale <math>x_0 \in \R</math> e di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge assolutamente: solo in <math>x_0\,\!</math> se <math>\rho=0\,\!</math>; in <math>\R\,\!</math> se <math>\rho=+\infty\,\!</math>; in ogni punto <math>x\,\!</math> tale che <math>|x-x_0|<\rho\,\!</math> e non converge in ogni punto <math>x\,\!</math> tale che <math>|x-x_0|>\rho\,\!</math>.

 

==Serie di Taylor==

<math>f\,\!</math> si dice '''sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale <math>x_0\,\!</math>''' se esiste una successione numerica <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> tale che <math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k, \ \forall x \in ]a,b[</math>

 

===Teorema 1===

{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=

<math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k, \ \forall |x-x_0|<\rho</math>

}}

====Dimostrazione====

Posto <math>x=x_0\,\!</math>, <math>f^{(m)}(x_0)=m!a_m+0+...+0+...=m!a_m, \ \forall m \in \N_0</math>, da cui <math>a_m=\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}</math>, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.{{endproof}}

 

<math>f: ]a,b[ \subseteq \R \to \R, a<b</math> indefinitamente derivabile in <math>]a,b[\,\!</math>. <math>f\,\!</math> si dice '''sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>]a,b[\,\!</math>''' se: <math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k, \ \forall x\in ]a,b[</math>

 

La serie di Taylor della funzione <math>f\,\!</math> di punto iniziale <math>0\,\!</math> si dice '''serie di Mac Laurin di <math>f\,\!</math>'''.

 

}}

====Dimostrazione====

Per ipotesi si ha che: <math>\left|\frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right|=\frac{|f^{(n+1)}(x_1)|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\le \frac{ML^{n+1}}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}, \ \forall n \in \N, \forall x,x_0 \in ]a,b[</math>.

 

Da cui segue che: <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{ML^n}{n!}|x-x_0|^n=0</math>, quindi la tesi.{{endproof}}

====Esempio====

Dato che <math>R\,\!</math> è stato scelto in maniera arbitraria in <math>\R</math>, allora si può concludere che <math>f\,\!</math> è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>\bigcup_{R \in \R}]-\infty,R[=]-\infty,+\infty[=\R\,\!</math>.

 

===Teorema 2===

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Se <math>f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1}, \ \forall x\in ]a,b[</math>, allora <math>f\,\!</math> è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>]a,b[\,\!</math>.

}}