Serie di funzioni: differenze tra le versioni

Sia <math>f(x)=e^x \,\!</math>. Si sa che <math>f \in C^{\infty}(\R)</math>, e le derivate di <math>f(x)\,\!</math> sono: <math>f^{n}(x)=e^x\,\!</math> , siaper poiogni <math>Rx \in \R</math> une numeroper arbitrarioogni positivo<math>n \in \N</math>. <br/>

LeSia derivatepoi di<math>R \in \R</math>f un numero arbitrario. Dato che la funzione è (xstrettamente) crescente in <math>\R</math>, sono:allora <math>f^{n}(x)=e^x\le e^R, \ \forall x \le R </math> , allora:. <br/>

Quindi posto <math> M = e^R\,\!</math> e <math>L =1\,\!</math>, risulta che <math>f^{n}(x)\le eML^R</math>n, \ <math>\forall x \le \R </math>. <br/>

Dato che <math>R\,\!</math> è stato scelto in maniera arbitraria in <math>\R</math>, allora si può concludere che <math>f\,\!</math> è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>\bigcup_{R \in \R}]-\infty,R[=]-\infty,+\infty[=\R\,\!</math>.