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*[[Wikiversità:Facoltà di Ingegneria:Controlli Automatici]]
=Materiale=
=Introduzione=
*[[Elettronica]]
==Richiami di teoria dei segnali==
Si dice ''segnale'' una qualunque grandezza fisica che vari nel tempo. Un tale segnale può essere di vari tipi: possono essere infatti digitali o analogici. In questo corso si affronteranno i segnali analogici, e soprattutto le elaborazioni di questi.
Per elaborare in maniera utile un segnale si possono utilizzare i cosiddetti '''blocchi lineari'''. Questi hanno due fondamentali caratteristiche:
*La ''Linearità'', ovvero la caratteristica in base alla quale <math>F(KS_i)=KF(S_i)</math>
*La ''non deformazione'', ovvero la capacità di non modificare in modulo il segnale (a meno che non si voglia cambiare le caratteristiche del sistema, ovviamente).
===Blocchi lineari===
*[[[Ritardo]]]
*[[[Moltiplicazione per costante]]]
*[[[Somma]]]
*[[[Integrale]]]
*[[[Derivata]]]
=== Blocchi non lineari===
*[[[Raddrizzatore]]]
*[[[Doppio Raddrizzatore]]] - questo componente si comporta come un "modulo". emette come uscita il segnale in ingresso con valore sempre positivo.
*[[[Limitatore]]]
*[[[Squadratore a soglia]]]
*[[[Squadratore con Isteresi]]]
==Applicazione elettrotecnica==
Una rete di componenti lineari è una rete lineare. Questo è molto importante, soprattutto considerando quali possono essere componenti lineari più o meno reali. Tipicamente i componenti elettronici sono bipoli lineari.
* Resistenza - <math>V(t)=R \cdot i(t)</math>
* Induttanza - <math>V(t)=L \frac{di(t)}{dt}</math>
* Capacità - <math>i(t)=C \frac {dv(t)}{dt}</math>
* Generatori controllati:
<table cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" border="1" width="50%">
<tr>
<td> </td><th>...comandati in <br>tensione <math>V_C</math></th><th>... comandati dalla <br>corrente <math>i_C</math></th></tr>
<tr><th>Generatori ideali <br>di tensione</th>
<td align="center"><math>V=A_v \cdot V_C</math> <br>con <math>A_v</math>= guadagno in tensione</td>
<td align="center"><math>V=T_Z \cdot i_C</math> <br>con <math>T_Z</math>= Transimpedenza</td>
</tr>
<tr>
<th>Generatori ideali <br>di corrente</th>
<td align="center"><math>i=T_y \cdot V_C</math> <br>con <math>T_y</math>= transammettenza</td>
<td align="center"><math>i=A_i \cdot i_C</math> <br>con <math>A_i</math>= guadagno di corrente</td>
</tr>
</table>
Questi bipoli possono essere composti in ''reti''. Ogni punto di contatto fra due o più poli è detto ''nodo''. In genere i nodi più utili ai fini del calcolo sono i nodi dove si incontrano almeno tre bipoli. Ogni via per passare da un nodo ad un altro, viene detta ''ramo''. Ogni sequenza chiusa da rami è detta ''maglia''.
===Leggi di Kirchhoff===
* KCL : In un nodo qualsiasi vale <math>\sum i_i = 0</math>
* KVL : In una qualsiasi maglia vale <math>\sum V_i =0</math>
===Serie e parallelo===
[[[Immagine]]] Nel caso in cui due o più bipoli abbiano in comune entrambi i capi, ovvero sono in ''parallelo'', si ha che la resistenza equivalente è pari a <math>Z_{EQ}=Z_1+Z_2</math>.
Se, al contrario i due bipoli hanno in comune un solo capo, ovvero sono in serie, si ha che <math>\frac {1}{Z_{EQ}}=\frac {1}{Z_1}+\frac {1}{Z_2}</math>
===Thevenin e Norton===
Qualsiasi circuito può essere trasformato in un circuito equivalente, se osservato da una porta, in base a due teoremi:
*'''Teorema di Thevenin''': il circuito equivalente è composto da un generatore di tensione non controllato posto in serie ad un'impedenza.
*'''Teorema di Norton''': il circuito equivalente è composto da un generatore di corrente non controllato posto in parallelo ad una impedenza.
<!--In entrambi i casi si deve considerare, per il calcolo della tensione equivalente, un cir-->
==Richiami di Controlli Automatici==
Per semplificare i calcoli con le leggi di Kirchhoff può essere utile, quando si utilizzano componenti con caratteristiche non lineari, per semplificare i calcoli, usare la trasformata di Laplace della specifica funzione costitutiva del componente. Questo fa sì che i calcoli avvengano su pochi oggetti complessi invece che su molte parti semplici. Un qualsiasi circuio è rappresentato dalla sua funzione di trasferimento. Una F.d.T. ha la struttura
<math>H(s) = \frac {N(s)}{D(s)}</math>
Questa permette di analizzare il sistema di controllo dando una valutazione sulla stabilità basata sugli zeri del denominatore. Perciò, come in Controlli Automatici, abbiamo tre casi:
# stabilità asintotica, se tutti gli zeri del denominatore hanno parte reale negativa.
# stabilità semplice, se un solo zero del denominatore ha parte reale nulla e tutti gli altri sono negativi.
# instabilità, se più di uno zero del denominatore ha parte reale nulla o almeno uno di questi ha parte reale positiva.
In generale, quindi si potranno usare le regole dell'elettrotecnica classica applicando le trasformate di Laplace (che in elettrotecnica erano state chiamate trasformate di Steimetz delle singole funzioni caratteristiche) dei singoli componenti in modo da comporli per ottenere reti.
=Parte I=
==Diodi==
Un diodo è un componente elettronico non lieare che permette il passaggio unidirezionale della corrente. [[Immagine:Simbolo.Diodo.png|right]]
I due estremi si chiamano anodo e catodo e corrispondono rispettivamente al punto di ingresso e di uscita della corrente.
Questa può essere calcolata in base all'equazione del diodo ideale di Shockley:
:<math>I_D=I_s \left( {e^{qV_D \over nkT}-1} \right)</math>
con
*I<sub>D</sub> intensità di corrente sul diodo;
*V<sub>D</sub> differenza di potenziale tra i due terminali;
*I<sub>0</sub> '''intensità di corrente di saturazione''', un fattore proporzionale che dipende dalle caratteristiche costruttive del diodo, direttamente proporzionale alla superficie della ''giunzione p-n'', assumente quindi valori variabili tra i 10<sup>-10</sup>, quando le dimensioni del diodo sono grandi, ed i 10<sup>-15</sup>, quando le dimensioni del diodo sono piccole;
*q carica elementare di 1 elettrone;
*k Costante di Boltzmann;
*T temperatura assoluta sulla superficie di giunzione tra la zone ''p'' ed ''n'' misurata in Kelvin;
*n coefficiente di emissione, anch'esso dipendente dal processo di fabbricazione e spesso omesso perché approssimato a 1 (ma che potrebbe ipoteticamente variare fino a 2).
Da quest'equazione si ricava il grafico del comportamento reale del Diodo sottoposto a stimoli esterni:
[[Immagine:Caratteristicadiodoreale.png]]
===Diodo a soglia ideale===
===Diodo a soglia reale===
==Linearizzazione==
Le leggi e le regole finora esposte valgono solo per componenti Lineari. Quando un componente non è lineare le cose si fanno più complesse. Solo alcuni compromessi permettono di studiare contemporaneamente i vari tipi di componenti. Il compromesso fondamentale è il cosiddetto "regime dei piccoli segnali". Questo significa che per piccole variazioni del segnale i componenti si comportano in modo lineare. L'unico modo analitico per farlo è utilizzando la derivata, che in base alla sua definizione viene definita valida in piccoli intervalli attorno al punto desiderato. In particolare, visto che l'approssimazione scala sempre di un grado alla volta, in caso di componenti non lineari di altri gradi, e comunque in generale, è bene fare lo sviluppo in serie di taylor al primo grado.
==Doppio bipolo==
Quasi tutti i sistemi che si affronteranno nel corso e comunque quasi tutti i sitemi reali non banali hanno una struttura che associa ad un voltaggio in ingresso uno o più voltaggi in uscita. Il caso generico più diffuso è composto da un voltaggio in ingresso ed un voltaggio in uscita (detti in genere <math>V_{in}</math> e <math>V_{out}</math>). Questo tipo di struttura è detta doppio bipolo. In realtà, in ogni caso, non ci sono da considerare solo i voltaggi, ma anche le due correnti: <math>I_{in}</math> e <math>I_{out}</math>. Per costruire un legame matematico fra gli elementi si possono supporre valide le seguenti formule:
:<math>I_{in}=y_iV_i+y_rV_o</math>
:<math>I_{out}=y_fV_i+y_oV_o</math>
ovvero, da un punto di vista matriciale
:<math>\begin{bmatrix}
I_i\\
I_o
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
y_i & y_r\\
y_f & y_o
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
V_i\\
V_o
\end{bmatrix}</math>
con ogni <math>y</math> appartenente a <math>\overline{\overline{Y}}</math> matrice delle ammettenze
Si osserva che <math>y_r</math> dovrebbe essere il più possibile vicina a zero, in quanto non è bene che il carico a valle vada a influire sul sistema generatore a monte
===Funzioni di Rete===
Vista la struttura di un generico doppio bipolo, possiamo cercare di comprendere alcune caratteristiche del sistema stesso in funzione di come agisce sugli ingressi e sulle uscite. [[[Immagine]]]
Innanzitutto definiamo le caratteristiche:
*<math>A_v</math> è detto ''guadagno di tensione''
*<math>A_i</math> è detto ''guadagno di corrente''
*<math>Z_i</math> è detto ''Impedenza equivalente all'ingresso''
*<math>Z_o</math> è detto ''impedenza equivalente all'uscita''
Poichè queste ultime due definizioni dipendono da trasformazioni di Norton o Thevenin, possiamo ricavare anche altri due valori:
*<math>V_{uca}</math> è detto ''Tensione equivalente a corrente alternata'', calcolata all'interno del bipolo secondo Thevenin
*<math>I_{ucc}</math> è detto ''Corrente equivalente a corrente continua'', calcolata all'interno del bipolo secondo Norton
Queste sono le relazioni che intercorrono fra i vari elementi
<table cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" border="1" width="50%">
<tr>
<td> </td><th><math>\overline{z}</math></th><th><math>\overline{y}</math></th><th><math>\overline{h}</math></th></tr>
<tr><th><math>\overline{A_c}</math></th>
<td align="center"><math>\frac{\overline{z}_f\overline{Z}_c}{\overline{D}_z+\overline{z}_i\overline{Z}_c}</math></td>
<td align="center"><math>- \frac{\overline{y}_f}{\overline{y}_o+\overline{Y}_c}</math></td>
<td align="center"><math>- \frac{\overline{h}_f}{\overline{D}_h+\overline{h}_i\overline{Y}_c}</math></td>
</tr>
<tr>
<th><math>\overline{A_i}</math></th>
<td align="center"><math>- \frac{\overline{z}_f}{\overline{z}_o+\overline{Z}_c}</math></td>
<td align="center"><math>\frac{\overline{y}_f\overline{Y}_c}{\overline{D}_y+\overline{y}_i\overline{Y}_c}</math></td>
<td align="center"><math>\frac{\overline{h}_f}{1+\overline{h}_o\overline{Z}_c}</math></td>
</tr>
<tr>
<th><math>\overline{Z_i}</math> ovvero <math>\overline{Y_i}=\frac{1}{\overline{Z_i}}</math></th>
<td align="center"><math>\overline{Z}_i=\overline{z_i}-\frac{\overline{z_r}\overline{z_f}}{\overline{z_o}+\overline{Z_c}}</math></td>
<td align="center"><math>\overline{Y}_i=\overline{y_i}-\frac{\overline{y_r}\overline{y_f}}{\overline{y_o}+\overline{Y_c}}</math></td>
<td align="center"><math>\overline{Z_i}=\overline{h_i}-\frac{\overline{h_r}\overline{h_f}}{\overline{h_o}+\overline{Y_c}}</math></td>
</tr>
<tr>
<th><math>\overline{Z_o}</math> ovvero <math>\overline{Y_o}=\frac{1}{\overline{Z_o}}</math></th>
<td align="center"><math>\overline{Z}_o=\overline{z}_o-\frac{\overline{z}_r\overline{z}_f}{\overline{z}_i+\overline{Z}_g}</math></td>
<td align="center"><math>\overline{Y_o}=\overline{y}_o-\frac{\overline{y}_r\overline{y}_f}{\overline{y}_i+\overline{Y}_g}</math></td>
<td align="center"><math>\overline{Y_o}=\overline{h}_o-\frac{\overline{h}_r\overline{h}_f}{\overline{h}_i+\overline{Z}_g}</math></td>
</tr>
<tr>
<th><math>\frac{\overline{V_{uca}}}{\overline{V_g}}</math></th>
<td align="center"><math>\frac{\overline{z_f}}{\overline{z_i}+\overline{Z_g}}</math></td>
<td align="center"><math>- \frac{\overline{y_f}}{\overline{D_y}\overline{Z_g}+\overline{y_o}}</math></td>
<td align="center"><math>- \frac {\overline{h_f}}{\overline{D_h}+\overline{h_o}\overline{Z_g}}</math></td>
</tr>
<tr>
<th><math>\frac{\overline{I_ucc}}{I_g}</math></th>
<td align="center"><math>-\frac{\overline{z_f}}{\overline{D_z}\overline{Y_g}+\overline{z_o}}</math></td>
<td align="center"><math>\frac {\overline{y_f}}{\overline{y_i}+\overline{Y_g}}</math></td>
<td align="center"><math>\frac{\overline{h_f}}{\overline{h_i}\overline{Y_g}+1}</math></td>
</tr>
</table>
==Transistor==
Un transistor è un dispositivo a stato solido formato da semiconduttori. In questo corso non si affronterà la struttura interna di un transistor, ma solo gli effetti che la sua presenza provoca in una rete elettrica. Un transistor è composto di tre parti fondamentali: una '''B'''ase, un '''C'''ollettore e un '''E'''mettitore. [[[immagine]]] In una rappresentazione fisicamente più facilmente analizzabile, detta di Ebers-Moll, il transistor viene assimilato a due Diodi in parallelo. [[[Immagine]]]
Le correnti all'interno del transistor sono, in generale,
:<math>I_B=I_s\frac{X_{be}}{\beta_f}+I_s\frac{X_{bc}}{\beta_r}</math>
:<math>I_C=I_t-I_s\frac{X_{bc}}{\beta_r}</math>
:<math>I_E=I_t+I_s\frac{X_{be}}{\beta_f}</math>
con
:<math>I_t=I_s(X_{be}-X_{bc})</math>
:<math>X_{\alpha\beta}=e^{\frac{V_{\alpha\beta}}{V_T}}-1</math>
Questo può variare però in funzione di come sono le tensioni all'interno del transistore.
====OFF====
In questo stato tutte le tensioni relative alla base sono nulle. In particolare, se si ha
:<math>V_{be}<V_{\gamma be}</math>
:<math>V_{bc}<V_{\gamma bc}</math>
si ricava che
:<math>I_E=I_B=I_C=I=0</math>
poichè le tensioni ai capi dei dipodi sono insufficienti per causare il passaggio della corrente.
====''R''egione ''N''ormale ''D''iretta====
Nellal ''R''egione ''N''ormale ''D''iretta solo il diodo inferiore è attivo, ovvero si ha che
:<math>V_{be}>V_{\gamma be}</math>
:<math>V_{bc}<V_{\gamma bc}</math> ==> <math>X_{bc}=0</math>
da cui si ricavano le equazioni relative alle correnti
:<math>I_B=I_s\frac{X_{be}}{\beta_f}</math>
:<math>I_C=I_s{X_{be}}</math>
:<math>I_E=I_t+I_s\frac{X_{be}}{\beta_f}=I_t=I_sX_{be}+I_s\frac{X_{be}}{\beta_f}=I_sX_{be}\frac{\beta_f+1}{\beta_f}</math>
Il rapporto fra le correnti è fondamentale, in quanto motivo per cui vengono utilizzati i transistor
:<math>I_C=\beta_fI_B</math>
Metre il coefficiente <math>\alpha=\frac{\beta_f}{\beta_f+1}</math> viene detto guadagno di base comune, poichè non dipende dalla base.
====Saturazione====
In particolari condizioni, ovvero quando la tensione del Diodo superiore lo rende attivo, mentre il diodo inferiore è ancora attivo, si ha la cosiddetta saturazione. In questo caso si ha che
:<math>V_{ce}=V_{ce-sat}</math>
==Doppi Bipoli==
=Parte 2=
==Regime dei piccoli Segnali==
===Linearizzazione===
==Doppi Bipoli==
===Schema riassuntivo===
<table align="center" cellpadding="1" cellspacing="1" border="1">
<tr><td align="center"> </td><td align="center">Emettitore comune</td><td align="center">Collettore comune</td><td>Base comune</td></tr>
<tr><td align="center"><math>A_v</math></td><td align="center"><math>-\beta_0 {{R_L}\over{r_{be}}}</math></td><td align="center"><math>\frac{(\beta_0+1)R_L}{r_{be}+(\beta_0+1)R_L}</math></td><td align="center"><math>\beta_0 {{R_L}\over{r_{be}}}</math></td></tr>
<tr><td align="center"><math>A_i</math></td><td align="center"><math>\beta_0</math></td><td align="center"><math>-(\beta_0+1)</math></td><td align="center"><math>-\beta_0 \over{\beta_0+1}</math></td></tr>
<tr><td align="center"><math>R_i</math></td><td align="center"><math>r_{be}</math></td><td align="center"><math>r_{be}+(\beta_0+1)R_L</math></td><td align="center"><math>r_{be}\over{\beta_0+1}</math></td></tr>
<tr><td align="center"><math>R_u</math></td><td align="center"><math>r_{ce}</math></td><td align="center"><math>(R_g+r{be})\over{\beta_0+1}</math></td><td align="center"><math>r_{ce}(1+ \frac{\beta_0 R_g}{r_{be}R_g})+\frac{r_{be}R_g}{r_{be}+R_g}</math></td></tr>
</table>
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