Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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finita la serie di Taylor. |
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<math>\rho\ge\rho')\,\!</math> Supponiamo che la serie derivata converge in <math>x_0\,\!</math>. Allora, come prima: <math>\exists M>0 : |(n+1)a_{n+1}x_0^n|\le L \forall n \in \N_0</math>, quindi, <math>\forall |x|<|x_0|, \forall n \in \N</math>:<br/>
<math>|a_nx^n|=\frac{1}{n}\frac{|na_nx_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=\frac{1}{n}|na_nx_0^{n-1}||x_0|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le \frac{M|x_0|}{n}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n \le M|x_0|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n</math>.<br/>
La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> converge,
Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> la serie di potenze di coefficienti <math>(0,a_n/(n+1))_{n \in \N}\,\!</math>, ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.
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