Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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==Definizione di serie e convergenze di serie==
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Applicando <math>m \in \N</math> volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: <math>f^{(m)}(x)=m!a_m+(m+1)!a_{m+1}(x-x_0)+\frac{(m+2)!}{2!}a_{m+2}(x-x_0)^2+\dots+k(k-1)\dots(k-m+1)a_k(x-x_0)^{k-m}+\dots, \ \forall m \in \N_0, \forall |x-x_0|<\rho</math>.<br/>
Posto <math>x=x_0\,\!</math>, <math>f^{(m)}(x_0)=m!a_m+0+...+0+...=m!a_m, \ \forall m \in \N_0</math>, da cui <math>a_m=\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}</math>, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.{{endproof}}
<math>f: ]a,b[ \subseteq \R \to \R, a<b</math> indefinitamente derivabile in <math>]a,b[\,\!</math>. <math>f\,\!</math> si dice '''sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>]a,b[\,\!</math>''' se: <math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k, \ \forall x\in ]a,b[</math>
La serie al secondo membro si dice '''serie di Taylor della funzione <math>f\,\!</math> di punto iniziale <math>x_0\,\!</math>'''.<br/>
La serie di Taylor della funzione <math>f\,\!</math> di punto iniziale <math>0\,\!</math> si dice '''serie di Mac Laurin di <math>f\,\!</math>'''.
Non tutte le funzioni indefinitamente derivabili sono sviluppabili in serie di Taylor. {{todo|Fare un esempio}}
===Criterio di sviluppabilità in serie di Taylor===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>f: ]a,b[ \subseteq \R \to \R, a<b</math> indefinitamente derivabile in <math>]a,b[\,\!</math>. Supponiamo che esistono <math>M, L>0\,\!</math> tali che: <math>|f^{(n)}(x)|\le ML^n, \ \forall n \in \N_0, \forall x \in ]a,b[</math>.
Allora <math>\forall x_0 \in ]a,b[\,\!</math>, <math>f\,\!</math> è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>]a,b[\,\!</math>
}}
====Dimostrazione====
Fissato <math>n \in \N\,\!</math>. Consideriamo il resto <math>n\,\!</math>-esimo di Lagrange della formula di Taylor di <math>f\,\!</math> di punto iniziale un qualunque punto <math>x_0 \in ]a,b[\,\!</math>:<br/>
<math>\exists x_1 \in ]a,b[: R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k=\frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}</math>.<br/>
Per ipotesi si ha che: <math>\left|\frac{f^{(n+1)}(x_1)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\right|=\frac{|f^{(n+1)}(x_1)|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\le \frac{ML^{n+1}}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}, \ \forall n \in \N, \forall x,x_0 \in ]a,b[</math>.
La serie di termine generale <math>\frac{ML^n}{n!}|x-x_0|^n</math> converge per il criterio del rapporto: <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\frac{ML^{n+1}}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\right)\left(\frac{n!}{ML^n}\frac{1}{|x-x_0|^n}\right)=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{L|x-x_0|}{n+1}=0</math>.<br/>
Da cui segue che: <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{ML^n}{n!}|x-x_0|^n=0</math>, quindi la tesi.{{endproof}}
===Teorema 2===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>f: ]a,b[ \subseteq \R \to \R, a<b</math> indefinitamente derivabile in <math>]a,b[\,\!</math>. Sia <math>x_0 \in ]a,b[\,\!</math>.<br/>
Se <math>f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1}, \ \forall x\in ]a,b[</math>, allora <math>f\,\!</math> è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> in <math>]a,b[\,\!</math>.
}}
====Dimostrazione====
Siano <math>c,d \in ]a,b[\,\!</math> tale che <math>x_0 \in [c,d]\,\!</math>. Allora la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{(k-1)!}(x-x_0)^{k-1}</math> converge totalmente in <math>[c,d]\,\!</math>, quindi uniformemente in <math>[c,d]\,\!</math> alla funzione <math>f'\,\!</math>.
Chiaramente la serie di Taylor di <math>f\,\!</math> di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> converge per <math>x=x_0\,\!</math>.
Valgono le ipotesi del teorema di derivazione delle serie di funzioni, e quindi la serie di Taylor di <math>f\,\!</math> di punto iniziale <math>x_0\,\!</math> converge uniformemente in <math>[c,d]\,\!</math> in una funzione <math>g\,\!</math> tale che <math>g(x_0)=f(x_0)\,\!</math>, e <math>g'(x)=f'(x), \forall x \in [c,d]</math>. Per il teorema fondamentale per il calcolo integrale, <math>f(x)=g(x), \forall x \in [c,d]</math>, da cui, per l'arbitrarietà di <math>c\,\!</math> e <math>d\,\!</math>, segue la tesi.{{endproof}}
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