Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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Si dice serie di punto iniziale <math>x_0 \in \R</math> e di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> la serie: <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k</math>.<br/>
Ponendo <math>y=x-x_0\,\!</math>, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se <math>\rho\,\!</math> è il raggio di convergenza della serie di potenze <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k</math>, allora la serie di punto iniziale <math>x_0 \in \R</math> e di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge assolutamente: solo in <math>x_0\,\!</math> se <math>\rho=0\,\!</math>; in <math>\R\,\!</math> se <math>\rho=+\infty\,\!</math>; in ogni punto <math>x\,\!</math> tale che <math>|x-x_0|<\rho\,\!</math> e non converge in ogni punto <math>x\,\!</math> tale che <math>|x-x_0|>\rho\,\!</math>.
==Serie di Taylor==
Sia <math>f: ]a,b[ \subseteq \R \to \R, a<b</math>. Sia <math>x_0 \in ]a,b[\,\!</math>.<br/>
<math>f\,\!</math> si dice '''sviluppabile in serie di potenze di punto iniziale <math>x_0\,\!</math>''' se esiste una successione numerica <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> tale che <math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k, \ \forall x \in ]a,b[</math>
===Teorema 1===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k, \ \forall |x-x_0|<\rho, \rho>0</math>. Allora <math>f\,\!</math> è indefinitamente derivabile in <math>]x_0-\rho,x_0+\rho[\,\!</math>, e valgono le due uguaglianze:<br/>
<math>f^{(m)}(x)=\sum_{k=m}^{\infty}\frac{k!}{(k-m)!}a_k(x-x_0)^{k-m}, \ \forall m \in \N_0, \forall |x-x_0|<\rho</math>, con <math>\frac{k!}{(k-m)!}=k(k-1)\dots(k-m+1), \forall k\ge m</math><br/>
<math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k, \ \forall |x-x_0|<\rho</math>
}}
====Dimostrazione====
Applicando <math>m \in \N</math> volte il teorema di derivazione per le serie di potenze, si ottiene la prima uguaglianza: <math>f^{(m)}(x)=m!a_m+(m+1)!a_{m+1}(x-x_0)+\frac{(m+2)!}{2!}a_{m+2}(x-x_0)^2+\dots+k(k-1)\dots(k-m+1)a_k(x-x_0)^{k-m}+\dots, \ \forall m \in \N_0, \forall |x-x_0|<\rho</math>.<br/>
Posto <math>x=x_0\,\!</math>, <math>f^{(m)}(x_0)=m!a_m+0+...+0+...=m!a_m, \ \forall m \in \N_0</math>, da cui <math>a_m=\frac{f^{(m)}(x_0)}{m!}</math>, da cui si ottiene la seconda uguaglianza, ossia la tesi.{{endproof}}
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