Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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Se <math>l=+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in <math>0\,\!</math>, e quindi <math>\rho=0\,\!</math>.
Se <math>0<l<+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se <math>|x|<\frac{1}{l}\,\!</math>, e la serie non converge se <math>|x|>\frac{1}{l}\,\!</math>, ossia, per il teorema precedente, <math>\rho=\frac{1}{l}</math>.{{endproof}}
Si definisce serie derivata di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> la serie di potenze di coefficienti <math>((n+1)a_{n+1})_{n \in \N_0}\,\!</math>, ossia la serie ottenuta derivando termine a termine la serie di partenza.
===Teorema sul raggio di convergenza della serie derivata===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>\rho\,\!</math> il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math>, e sia <math>\rho'\,\!</math> il raggio di convergenza della serie derivata. Allora <math>\rho'=\rho</math>.
}}
====Dimostrazione====
<math>\rho\le\rho')\,\!</math> Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converga in <math>x_0\,\!</math>. Da ciò segue che la successione (a_nx_0^n)_{n \in \N} converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia <math>\exists L>0 : |a_nx_0^n|\le L \forall n \in \N_0</math>. Allora, <math>\forall |x|<|x_0|, \forall n \in \N_0</math>:<br/>
<math>|(n+1)a_{n+1}x^n|=(n+1)\frac{|a_{n+1}x_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=(n+1)\frac{|a_{n+1}x_0^{n+1}|}{|x_0|}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le \frac{L}{|x_0|}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n</math>.<br/>
La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti <math>((n+1)a_{n+1})_{n \in \N_0}\,\!</math>, ossia la serie derivata, converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\le\rho'\,\!</math>.
<math>\rho\ge\rho')\,\!</math> Supponiamo che la serie derivata converge in <math>x_0\,\!</math>. Allora, come prima: <math>\exists M>0 : |(n+1)a_{n+1}x_0^n|\le L \forall n \in \N_0</math>, quindi, <math>\forall |x|<|x_0|, \forall n \in \N</math>:<br/>
<math>|a_nx^n|=\frac{1}{n}\frac{|na_nx_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=\frac{1}{n}|na_nx_0^{n-1}||x_0|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le \frac{M|x_0|}{n}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n \le M|x_0|\left|\frac{x}{x_0}\right|^n</math>.<br/>
La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> converge, perchè è la serie di ragione strettamente minore di 1, da cui segue che la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\ge\rho'\,\!</math>.{{endproof}}
Si definisce serie integrale di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> la serie di potenze di coefficienti <math>(0,a_n/(n+1))_{n \in \N}\,\!</math>, ossia la serie ottenuta integrando termine a termine la serie di partenza.
===Teorema di derivazione e integrazione delle serie di potenze===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>\rho\,\!</math> il raggio di convergenza, supposto non nullo, di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math>. Supponiamo che <math>f(x)\,\!</math> la sua somma, ossia:<br/>
<math>f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k, \ \forall |x|<\rho, \rho>0</math>.<br/>
Allora risulta anche: <math>f'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}ka_kx^{k-1}, \ \forall |x|<\rho, \ \int_0^t f(t)dt = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}, \ \forall |x|<\rho</math>
}}
====Dimostrazione====
Per il teorema precedente, la serie derivata ha lo stesso raggio di convergenza della serie iniziale, la quale ha a sua volta lo stesso raggio di convergenza della serie integrale, e quindi le tre serie convergono uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in <math>]\!-\!\rho,\rho[\,\!</math>, con <math>\rho\,\!</math> il raggio di convergenza, da cui segue la tesi per il teorema di derivazione ed integrazione per le serie.{{endproof}}
===Serie di potenze generalizzato===
Si dice serie di punto iniziale <math>x_0 \in \R</math> e di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> la serie: <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-x_0)^k</math>.<br/>
Ponendo <math>y=x-x_0\,\!</math>, la serie suddetta si riconduce alla serie di punto iniziale 0, da cui si deduce che, se <math>\rho\,\!</math> è il raggio di convergenza della serie di potenze <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k</math>, allora la serie di punto iniziale <math>x_0 \in \R</math> e di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge assolutamente: solo in <math>x_0\,\!</math> se <math>\rho=0\,\!</math>; in <math>\R\,\!</math> se <math>\rho=+\infty\,\!</math>; in ogni punto <math>x\,\!</math> tale che <math>|x-x_0|<\rho\,\!</math> e non converge in ogni punto <math>x\,\!</math> tale che <math>|x-x_0|>\rho\,\!</math>.
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