Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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====Dimostrazione====
Supponiamo, per assurdo, che <math>\rho<0\,\!</math>. Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di <math>]\rho,0]\,\!</math>, il che contrasta con il fatto che <math>\rho=
I primi due
*<br/>
<math>\Rightarrow)\,\!</math> Sia <math>x\,\!</math> tale che <math>|x|<\rho\,\!</math>. Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un <math>\xi \in X</math> tale che <math>|x|<\xi\le \rho\,\!</math>. E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in <math>x\,\!</math>.<br/>
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto <math>\xi\,\!</math> tale che <math>|\xi|>\rho\,\!</math>, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni <math>x \in [\rho,|\xi|[</math>, che contraddice il fatto che <math>\rho=\sup X\,\!</math>, da cui l'assurdo.
<math>\Leftarrow)\,\!</math> Sia <math>0<\rho_1<+\infty\,\!</math> tale che la serie converge in ogni <math>|x|<\rho_1\,\!</math>, e la serie non converge in ogni <math>|x|>\rho_1\,\!</math>. Se la serie converge in ogni <math>|x|<\rho_1\,\!</math>, allora <math>]-\rho_1,\rho_1[\subseteq X\,\!</math>, e quindi <math>\rho_1\le\rho=\sup X\,\!</math>.
Se, per assurdo, <math>\rho_1<\rho\,\!</math>, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare in ogni <math>x \in [\rho_1,\rho[\,\!</math>, il che contraddice l'ipotesi che la serie non converge in ogni <math>|x|>\rho_1\,\!</math>, da cui l'assurdo.{{endproof}}
Si conclude che, in base al teorema precedente, se <math>\rho=\sup X\,\!</math>, l'insieme di convergenza contiene sicuramente di un intervallo aperto di centro <math>0\,\!</math> e di raggio <math>\rho\,\!</math>, che si riduce al solo <math>{0}\,\!</math> se <math>\rho=0\,\!</math>,e che si estende a tutto <math>\R\,\!</math>, se <math>\rho=+\infty\,\!</math>. Inoltre, tale insieme non si può estendere oltre l'intervallo chiuso e limitato di centro <math>0\,\!</math> e raggio <math>\rho\,\!</math>. Allora diciamo che <math>\rho\,\!</math> è il '''raggio di convergenza''' della serie di potenze.
Il teorema non dice nulla se la serie converge in <math>|x|=\rho\,\!</math>. In generale, comunque, la serie può non convergere per tali valori.
===Esempi===
*La serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}x^k</math> è, come è noto, la serie geometrica di ragione <math>x\,\!</math>, che converge se <math>|x|<1\,\!</math>, e diverge se <math>|x|>1\,\!</math>. Quindi il raggio di convergenza della serie è <math>1\,\!</math>. Tuttavia, per <math>x=1\,\!</math>, la serie diverge positivamente, mentre per <math>x=-1\,\!</math>, la serie non è regolare, e quindi <math>X=]-1,1[\,\!</math>.
*La serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k^2}</math> ha raggio di convergenza <math>1\,\!</math>, e la serie converge sia per <math>x=1\,\!</math> (la serie armonica con <math>p>1\,\!</math>), sia per <math>x=-1\,\!</math> (criterio di Leibniz), quindi <math>X=[-1,1]\,\!</math>.
*La serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k}</math> ha raggio di convergenza <math>1\,\!</math>, e la serie converge per <math>x=-1\,\!</math> (criterio di Leibniz), ma non per <math>x=1\,\!</math> (serie armonica con <math>p\le 1\,\!</math>), quindi <math>X=[-1,1[\,\!</math>.
I criteri indicati nel seguito facilitano la ricerca del raggio di convergenza della serie.
===Criterio di Cauchy-Hadamard===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>\rho\,\!</math> il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math>. Se <math>\exists \lim_{n}\sqrt[n]{|a_n|}=l</math>, allora: <math>\begin{cases}l=+\infty & \Rightarrow \rho=0\\
0<l<+\infty & \Rightarrow \rho=\frac{1}{l}\\
l=0 & \Rightarrow \rho=+\infty\end{cases}</math>
}}
====Dimostrazione====
Per ogni <math>x\neq 0, \lim_{n}\sqrt[n]{|a_nx^n|}=l|x|</math>.<br/>
Se <math>l=0\,\!</math>, allora, per il criterio della radice, la serie converge per ogni <math>x \in \R</math>, e quindi <math>\rho=+\infty\,\!</math>.
Se <math>l=+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio della radice, la serie converge in solo in <math>0\,\!</math>, e quindi <math>\rho=0\,\!</math>.
Se <math>0<l<+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio della radice, la serie converge se <math>|x|<\frac{1}{l}</math>, e la serie non converge se <math>|x|>\frac{1}{l}</math>, ossia, per il teorema precedente, <math>\rho=\frac{1}{l}</math>.{{endproof}}
===Criterio di D'Alembert===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>\rho\,\!</math> il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math>. Se <math>\exists \lim_{n}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=l</math>, allora: <math>\begin{cases}l=+\infty & \Rightarrow \rho=0\\
0<l<+\infty & \Rightarrow \rho=\frac{1}{l}\\
l=0 & \Rightarrow \rho=+\infty\end{cases}</math>
}}
====Dimostrazione====
Per ogni <math>x\neq 0, \lim_{n}\left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_nx^n}\right|=l|x|</math>.<br/>
Se <math>l=0\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge per ogni <math>x \in \R</math>, e quindi <math>\rho=+\infty\,\!</math>.
Se <math>l=+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge in solo in <math>0\,\!</math>, e quindi <math>\rho=0\,\!</math>.
Se <math>0<l<+\infty\,\!</math>, allora, per il criterio del rapporto, la serie converge se <math>|x|<\frac{1}{l}\,\!</math>, e la serie non converge se <math>|x|>\frac{1}{l}\,\!</math>, ossia, per il teorema precedente, <math>\rho=\frac{1}{l}</math>.{{endproof}}
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