Serie di funzioni: differenze tra le versioni

E'È chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in <math>I\,\!</math>, essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme <math>I'\subseteq I</math>.

Quindi, <math>\forall n \in \N\,\!</math>, <math>f_n\,\!</math> ha un maggiorante che converge. Tuttavia, <math>\sup_{x \in I} |f_n(x)|\le M_n, \forall n \in \N</math>, poichèpoiché, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.{{endproof}}