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Riga 36: Partendo da un sistema lineare <math>Ax=b</math>, il metodo consiste nei seguenti passaggi: * Se <math>A</math> è la matrice nulla, abbiamo ovviamente finito. * Se <math>A</math> non è la matrice nulla, consideriamo la prima colonna che presenta un coefficiente non nullo (se necessario è possibile scambiare di posto le righe della matrice per avere tale coefficiente il ~~piu'~~più a sinistra possibile e nella prima riga, all'inizio della matrice). Sia <math>A^{j}</math> questa colonna e chiamiano tale valore non nullo ''pivot'', in questo caso <math>A_{1,j} = p_1</math> * Rendiamo nulli tutti i valori della colonna ''j-esima'' sommando alle righe <math>1+h,h=2,\ldots,m</math> una opportuna combinazione lineare. * Andiamo avanti considerando la colonne successiva ad <math>A^j</math> della riga 2 fino a che non troviamo una colonna <math>A^{j+a}</math> avente coefficiente non nullo. Sia <math>p_2</math> tale valore e procediamo come prima fino alla riga <math>h</math> Riga 66: :Risolviamolo all'indietro, cioè ripetiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan stavolta partendo dal basso: :abbiamo la matrice <math>S=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) c=\left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\0\end{array}\right) </math> e partiamo da basso prendendo come pivot il primo valore da destra non nullo, ~~cioe'~~cioè <math>2=p_{r1}</math> e, di nuovo, sostiuiamo alla prima riga di <math>S</math> e di <math>S</math> la combinazione lineare ottenuta come avevamo fatto prima, cioè <math>R_1 = R_1 -\frac{1}{2} R_2</math> ottenendo la matrice :<math>S=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & \frac{11}{2} & 0 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) c=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} \\-3 \\0\end{array}\right) </math>. :Abbiamo ora terminato l'algoritmo di Gauss e procediamo a risolvere il sistema lineare equivalente ottenuto. Risolviamo allora il sistema:

Sistemi lineari: differenze tra le versioni