Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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==Serie di potenze==
Sia <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> una successione reale. La serie di funzioni <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k\,\!</math> prende il nome di serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math>.
Vi è da notare che, ponendo <math>x=0\,\!</math>, la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> si riduce allo <math>0\,\!</math>, e quindi <math>0\,\!</math> sta nell'insieme di convergenza della serie, che si può denotare con <math>X\,\!</math>.
===Teorema 1===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Se la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converge per qualche <math>\xi \neq 0\,\!</math>, allora la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in <math>]\!-\!|\xi|,|\xi|[\,\!</math>.
}}
====Dimostrazione====
Dato che la serie numerica di termine generale <math>a_n\xi^n\,\!</math> converge, allora la successione <math>(a_n\xi^n)_{n \in \N}\,\!</math> converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia:<br/>
<math>\exists M \in \R : \forall n \in \N, |a_n\xi^n|\le M</math>.<br/>
Sia <math>\eta \in ]\!-\!|\xi|,|\xi|[\,\!</math>, quindi <math>|\eta|<|\xi|\,\!</math>. Allora, <math>\forall x \in \R : |x|\le|\eta|</math>, <math>|a_nx^n|=|a_n\xi^n|\frac{|x^n|}{|\xi^n|}\le M\left(\frac{|x|}{|\xi|}\right)^n\le M\left(\frac{|\eta|}{|\xi|}\right)^n, \forall n \in \N</math>.<br/>
La serie numerica di termine generale <math>M_n=M(|\eta|/|\xi|)^n\,\!</math> è una serie geometrica di ragione strettamente minore di <math>1\,\!</math>, che quindi converge, da cui segue che la serie di potenze converge totalmente in ogni <math>[-\!|\eta|,|\eta|]\subset]\!-\!|\xi|,|\xi|[\,\!</math>, e quindi, scelti <math>a,b \in [-\!|\eta|,|\eta|] : a<b</math>, la serie converge totalmente in ogni <math>[a,b]\subseteq[-\!|\eta|,|\eta|]\subset]\!-\!|\xi|,|\xi|[\,\!</math>, da cui la tesi.
Di conseguenza, <math>X\,\!</math> è un intervallo di <math>\R\,\!</math> contenente <math>0\,\!</math>.
Il prossimo teorema illustra che forma abbia tale intervallo:
===Teorema 2===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Sia <math>\rho=\sup X\,\!</math>. Allora <math>\rho\ge 0\,\!</math>, e si hanno tre casi:<br/>
*<math>\rho=0 \Leftrightarrow X=\{0\}\,\!</math>
*<math>\rho=+\infty \Leftrightarrow X=\R</math>
*<math>0<\rho<+\infty \Leftrightarrow ]\!-\!\rho,\rho[\subseteq X\subseteq [-\rho,\rho]</math>, ossia la serie converge <math>\forall |x|<\rho\,\!</math>, e la serie non converge <math>\forall |x|>\rho\,\!</math>
}}
====Dimostrazione====
Supponiamo, per assurdo, che <math>\rho<0\,\!</math>. Allora, per il teorema precedente, la serie di potenze convergerebbe in particolare in tutti i punti di <math>]\rho,0]\,\!</math>, il che contrasta con il fatto che <math>\rho=supX\,\!</math>.
I primi due casi sono banalmente dimostrabili.
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