Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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====Dimostrazione====
*Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.
▲Dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale <math>|f_n|\,\!</math>, si deduce la verifica del criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale <math>f_k\,\!</math>, quindi la tesi.
*Sia <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k\,\!</math> una serie di funzioni che converge totalmente in <math>I\,\!</math>. Sia <math>(M_n)_{n \in \N}, M_n\ge 0 : |f_n(x)|\le M_n, \ \forall x \in I, \forall n \in \N, \ \sum_{k=1}^{\infty}M_k<+\infty</math>.
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====Dimostrazione====
Se la serie di funzioni converge totalmente, allora
Quindi, <math>\forall n \in \N\,\!</math>, <math>f_n\,\!</math> ha un maggiorante che converge. Tuttavia, <math>\sup_{x \in I} |f_n(x)|\le M_n, \forall n \in \N</math>, poichè, per definizione del sup, è il più piccolo dei maggioranti, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.{{endproof}}
==Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie==
Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare <math>I=[a,b],a<b\,\!</math>):
===Teorema sulla continuità della somma===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Se una serie di funzioni continue converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, allora il limite è una funzione anch'essa continua in <math>I\,\!</math>
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Se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> di funzioni integrabili in <math>I\,\!</math> converge uniformemente, allora la serie è integrabile in <math>I\,\!</math>, e vale:<br/>
<center><math>\int_{a}^{b} \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)\, dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b} f_k(x)\, dx</math></center>
E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.▼
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▲E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.
===Teorema di derivazione per le serie===
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Se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> di funzioni derivabili in <math>I\,\!</math> converge in <math>I\,\!</math>, e la serie derivata <math>\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math> converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, allora la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> è derivabile in <math>I\,\!</math>, e vale:<br/>
<center><math>\left(\sum_{k=1}^{\infty}f_k\right)'=\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math></center>
E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.▼
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▲E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.
==Serie di potenze==
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