Serie di funzioni: differenze tra le versioni

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m riscrittura di alcuni teoremi
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===Collegamento tra la convergenza totale e uniformevarie convergenze===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
La convergenza totale di*Se una serie di funzioni implicaconverge assolutamente oppure launiformemente, suaallora convergenzaconverge uniformepuntualmente.
*La convergenza totale di una serie di funzioni implica sia la sua convergenza uniforme, sia la sua convergenza assoluta.
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====Dimostrazione====
*Già è noto che le successioni di funzioni convergenti uniformemente convergono puntualmente.
Sia <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_i\,\!</math> una serie di funzioni che converge totalmente in <math>I\,\!</math>. Sia <math>(M_n)_{n \in \N}, M_n\ge 0 : |f_n(x)|\le M_n, \ \forall x \in I, \forall n \in \N, \ \sum_{k=1}^{\infty}M_k<+\infty</math>.
DaPer ciòil seguecriterio che,di <math>\forallCauchy xpuntiforme \inapplicato I,alla \forallserie n>m,di \foralltermine pgenerale <math>|f_n|\in ,\N!</math>:, <math>|f_{n+1}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|\le|f_{n+1}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)|\le M_{n+1}+\dots+M_{n+p}<\varepsilon</math>.<br/>
Dal criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale <math>|f_n|\,\!</math>, si deduce la verifica del criterio di Cauchy puntiforme applicato alla serie di termine generale <math>f_k\,\!</math>, quindi la tesi.
 
*Sia <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_if_k\,\!</math> una serie di funzioni che converge totalmente in <math>I\,\!</math>. Sia <math>(M_n)_{n \in \N}, M_n\ge 0 : |f_n(x)|\le M_n, \ \forall x \in I, \forall n \in \N, \ \sum_{k=1}^{\infty}M_k<+\infty</math>.
Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche:<br/>
<math>\forall \varepsilon>0, \exists m \in \N : M_{n+1}+\dots+M_{n+p}<\varepsilon, \ \forall n>m, \forall p \in \N</math>.<br/>
Da ciò segue che, <math>\forall x \in I, \forall n>m, \forall p \in \N</math>: <math>|f_{n+1}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|\le|f_{n+1}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)|\le M_{n+1}+\dots+M_{n+p}<\varepsilon</math><br/>
Si è mostrato che la serie di termine generale <math>f_n\,\!</math> soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, ossia la tesi. {{endproof}}
 
Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche: <math>\forall \varepsilon>0, \exists m \in \N : M_{n+1}+\dots+M_{n+p}<\varepsilon, \ \forall n>m, \forall p \in \N</math>.<br/>
E' utile, nella pratica, porre <math>M_n=\sup_{x \in I} |f_n(x)|</math>, per la verifica della totale convergenza della serie.
Da ciò segue che, <math>\forall x \in I, \forall n>m, \forall p \in \N</math>: <math>|f_{n+1}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|\le|f_{n+1}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)|\le M_{n+1}+\dots+M_{n+p}<\varepsilon</math>.<br/>
Quindi è soddisfatto il criterio di Cauchy uniforme sia per la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}|f_k|\,\!</math>, sia per <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k\,\!</math>, ossia le due serie convergono uniformemente, ma per la proposizione precedente, la serie di termine <math>f_n\,\!</math> converge sia assolutamente, sia uniformemente in <math>I\,\!</math>, ossia la tesi. {{endproof}}
 
Per la verifica della totale convergenza, è utile, nella pratica, verificare se la serie numerica di termine generale <math>\sup_{x \in I} |f_n(x)|</math> converge. Infatti vale il seguente risultato:
===Criterio 1===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Una serie di funzioni converge totalmente, se e solo se la serie di termine generale <math>\sup_{x \in I} |f_n(x)|</math> converge.
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====Dimostrazione====
Se la serie di funzioni converge totalmente, allora la serie è maggiorata da una serie numerica, di termine generale, ad esempio, <math>M_n\,\!</math> convergente. Tuttavia, per definizione del sup, <math>\sup_{x \in I} |f_n(x)|\le M_n</math>, e quindi la serie del sup converge, per il criterio del confronto tra due serie numeriche. Il viceversa è ovvio.{{endproof}}
 
==Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie==