Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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==Definizione di serie e convergenze di serie==
Sia <math>(f_n)_{n \in \N}\,\!</math> una successione di funzioni reali, definite in <math>I \subseteq \R\,\!</math>.
Si definisce (analogamente al caso delle serie numeriche) '''serie di funzioni''' di termine generale <math>f_n\,\!</math> la scrittura <math>\sum_{
La scrittura <math>\sum_{
Se, <math>\forall x \in I\,\!</math>, la serie numerica <math>\sum_{i=1}^{\infty}
Se la successione <math>(s_n)_{n \in \N}\,\!</math> converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, la serie di funzioni si dice che converge '''uniformemente''' in <math>I\,\!</math>.
Inoltre, la serie di funzioni <math>\sum_{
Infine, una serie di funzioni di termine generale <math>f_n \,\!</math> si dice totalmente convergente in <math>I\,\!</math> se e solo se:<br/>
<math>\exists (M_n)_{n \in \N}, M_n\ge 0 : |f_n(x)|\le M_n, \ \forall x \in I, \forall n \in \N, \ \sum_{
E' chiaro che, se una serie di funzioni converge puntualmente, uniformemente o totalmente in <math>I\,\!</math>, essa converge, rispettivamente puntualmente, uniformemente o totalmente, in ogni sottoinsieme <math>I'\subseteq I</math>.
Si
Da cui si deducono, a partire dai criteri di Cauchy per le successioni, i seguenti criteri
▲===Criterio di Cauchy puntuale per le serie===
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La serie di funzioni di termine generale <math>f_n \,\!</math> converge '''puntualmente''' in <math>I\,\!</math> se e solo se:<br/>
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===Criterio di Cauchy uniforme per le serie===▼
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La serie di funzioni di termine generale <math>f_n \,\!</math> converge '''uniformemente''' in <math>I\,\!</math> se e solo se:<br/>
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}}
====Dimostrazione====
Sia <math>\sum_{
Per il criterio di Cauchy relativo alle serie numeriche:<br/>
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Da ciò segue che, <math>\forall x \in I, \forall n>m, \forall p \in \N</math>: <math>|f_{n+1}(x)+\dots+f_{n+p}(x)|\le|f_{n+1}(x)|+\dots+|f_{n+p}(x)|\le M_{n+1}+\dots+M_{n+p}<\varepsilon</math><br/>
Si è mostrato che la serie di termine generale <math>f_n\,\!</math> soddisfa il criterio di Cauchy uniforme, e quindi converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, ossia la tesi. {{endproof}}
E' utile, nella pratica, porre <math>M_n=\sup_{x \in I} |f_n(x)|</math>, per la verifica della totale convergenza della serie.
==Teoremi sulla convergenza uniforme delle serie==
Grazie al teorema di inversione dei limiti e ai teoremi di passaggio sotto il segno di derivata e integrale, si possono dedurre i seguenti teoremi sulle serie di funzioni convergenti uniformemente (stiamo ad indicare <math>I=[a,b],a<b\,\!</math>:
===Teorema sulla continuità della somma===
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Se una serie di funzioni continue converge uniformemente, allora il limite è una funzione anch'essa continua</math>
}}
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> di funzioni integrabili in <math>I\,\!</math> converge uniformemente, allora la serie è integrabile in <math>I\,\!</math>, e vale:<br/>
<center><math>\int_{a}^{b} \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)\, dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b} f_k(x)\, dx</math></center>
E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.
}}
===Teorema di derivazione per le serie===
{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> di funzioni derivabili in <math>I\,\!</math> converge in <math>I\,\!</math>, e la serie derivata <math>\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math> converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, allora la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> è derivabile in <math>I\,\!</math>, e vale:<br/>
<center><math>\left(\sum_{k=1}^{\infty}f_k\right)'=\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math></center>
E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.
}}
==Serie di potenze==
Sia <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> una successione reale. La serie di funzioni <math>\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k\,\!</math> prende il nome di serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math>.
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