Variabili casuali: differenze tra le versioni
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::<math>\exists \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}F_X(\alpha-\epsilon) = F_X(\alpha^-)</math>
Tutte le funzioni che soddisfano queste proprietà sono funzioni di distribuzione
Abbiamo visto che ad ogni funzione di distribuzione <math>F_X</math> su <math>\mathbb{R}</math> è associata una ed una sola misura di probabilità <math>P</math> che soddisfa <math> P \left( \left( a , b \right) \right) = F ( b ) - F ( a ) </math>. Per estensione, indichiamo con <math>P_X</math> la misura di probabilità associata alla <math>F_X</math>,
:<math>
è la misura di probabilità su <math>(\mathbb{R,B(R)})</math> tale che
* <math>P_X((a,b]) = F_X(b) -F_X(a)</math> * <math>P_X((-a,b)) = F_X(b)</math> Proprietà di <math>P_X</math> e <math>F_X</math>:
* <math>P_X\left( \left\{ a \right\} \right) = F_X(a) -F_X(a^{-})</math>
* <math> P_X \left( \left[ a,b \right] \right) = F_X ( b ) - F_X ( a^{-} ) </math>
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Sappiamo che essa esiste ed è unica. Definiamo
:<math>X:\mathbb{R \rightarrow R}</math>
come :<math>X(s)=s \ \forall s \in \mathbb{R}</math> X è una variabile casuale su <math>\{ \mathbb{R,B(R)},P\}</math>; inoltre,
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* <math>F = \mathbb{B(R)}</math>
* <math>P | P((a,b])=F(b) -F(a) \ \forall a,b \in \mathbb{R}, \ a < b</math>.
Sappiamo che tale <math>P</math> esiste ed è unica. Allora <math>X(s)=s \ \forall s \in \mathbb{R}</math> è una variabile casuale che ammette <math>F</math> come distribuzione.
{{Matematica voce|Definizione|Funzione di densità di probabilità continua|Sia uno spazio di probabilità <math>\{\Omega, F, P\}</math>. Se esiste una funzione <math>f : \mathbb{R \rightarrow R}^+</math> tale che
:<math>F(b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\alpha) d\alpha</math>
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{{Matematica voce|Definizione|Variabile casuale Q(x)|<math> Q ( x ) = 1 - G ( x )</math> è la coda della gaussiana, usata per calcolare le probabilità di errore.}}
{{Matematica voce|Definizione|Funzione di distribuzione discreta|La funzione di distribuzione discreta è una <math>
▲*<math>P_i = F(x_i) -F(X_i^-)</math>
*<math>\sum P_i = 1</math>
*<math>F(x) = \sum_{i : x_i \le x} P_i</math> }}
In questo caso conviene introdurre
* <math>\Omega = \{x_1,x_2\}</math> * <math>F = 2^\Omega</math> * <math>P(\{x_i\}) = P_i</math> Consideriamo lo spazio <math>\{\Omega, F, P\}</math> e definiamo la funzione
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:<math>X : \Omega \rightarrow \mathbb{R} | X(s)=s \ \forall s \in \Omega</math>
<math>X</math> è una variabile casuale discreta con funzione di distribuzione
* <math>F_X = F</math> * <math>P(x = x_i) =P_i</math> A questo punto, possiamo scrivere che
:<math>F_X(\alpha) = P(x \le \alpha) = P(\{ s \in \Omega | X(s) \le \alpha \}) = P(\{s \in \Omega | s \le \alpha\}) = \left\{ \begin{matrix} P_1 + P_2 & \alpha > x_2 \\ P_1 & x_1 \le \alpha < x_2 \\ 0 & \alpha < x_1 \end{matrix}\right. = \sum_{i : x_i \le \alpha} P_i</math>▼
▲:<math>\begin{align}F_X(\alpha) &= P(x \le \alpha) \\ &= P(\{ s \in \Omega | X(s) \le \alpha \}) \\&= P(\{s \in \Omega | s \le \alpha\}) \\&= \left\{ \begin{matrix} P_1 + P_2 & \alpha > x_2 \\ P_1 & x_1 \le \alpha < x_2 \\ 0 & \alpha < x_1 \end{matrix}\right. \\&= \sum_{i : x_i \le \alpha} P_i\end{align}</math>
{{Matematica voce|Esempio||Banalmente, se avete il lancio di una moneta:
* <math>X(T) = 1</math>
* <math>X(C) =0</math>
con
con <math>P(T) = p</math> e <math>P(C) =q</math>. Allora la funzione di distribuzione è▼
<math>F_X(\alpha) = \left\{ \begin{matrix} 1 & \alpha > 1 \\ q & 0 \le \alpha < 1 \\ 0 & \alpha < 0 \end{matrix}\right. </math>}}▼
▲:<math>F_X(\alpha) = \left\{ \begin{matrix} 1 & \alpha > 1 \\ q & 0 \le \alpha < 1 \\ 0 & \alpha < 0 \end{matrix}\right. </math>}}
{{Matematica voce|Esercizio||Dato lo spazio di probabilità <math>\{\Omega, F, P\}</math>, lancio di un dado non truccato, con <math>\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \cdots , \omega_6\}</math>, considerare la seguente variabile casuale e caratterizzarla:
* <math>X(\omega_3) = 2</math>
* <math>X(\omega_5) = 0</math>
▲:<math>X(\omega_4) = 4</math>
▲:<math>X(\omega_5) = 0</math>
▲:<math>X(\omega_6) = -2</math>
Il risultato è quello in figura:
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==== Esponenziale bilatera, o di [[w:Pierre Simon Laplace|Laplace]] ====
:<math>f(x) = \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|} \ \ \lambda > 0</math>
<source lang="matlab">
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[[Immagine:TFA esempio codifica predittiva.png|center|TFA esempio codifica predittiva.png]]
La codifica predittiva utilizza parecchio la variabile casuale di Laplace. Si vuole comprimere un video, una serie di fotogrammi
:<math>[i-1, i, i+1]</math> In generale, la funzione di densità di probabilità dei pixel sarà uniforme; al contrario, però, la funzione di densità di probabilità di :<math>E = I_i - I_{i-1}</math>
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