Variabili casuali: differenze tra le versioni
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<math>X(s)</math> è indicata anche come <math>I_A(s)</math> ed è detta funzione indicatrice dell'evento A.
A conclusione di questo, dato che
:<math>B \in F \ \forall B' \in F'</math> allora <math>I_A(\cdot)</math> è una variabile casuale. Notare che l'immagine di <math>\Omega</math> attraverso <math>I_A(\cdot)</math> è un insieme finito, quindi <math>X</math> è una variabile casuale discreta.
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:<math>F=\{ T, C, \Omega, \varnothing\}</math>
:<math>P:F \rightarrow [0,1]</math> con <math>P(\{T\}) = P(\{C\}) = \frac{1
Consideriamo X come:
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Il seguente lemma permette di restringere la verifica ad un sottoinsieme di boreliani.
{{Matematica voce|Lemma||Sia <math>\xi</math> una collezione di insiemi in <math>\mathbb{R}</math> tali che <math>\sigma(\xi) = \mathbb{B(R)} = F'</math>. Dato lo spazio di probabilità <math>\{\Omega, F, P\}</math>, condizione necessaria sufficiente affinché <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math> sia una variabile casuale è che ▼
▲Sia <math>\xi</math> una collezione di insiemi in <math>\mathbb{R}</math> tali che <math>\sigma(\xi) = \mathbb{B(R)} = F'</math>. Dato <math>\{\Omega, F, P\}</math>, condizione necessaria sufficiente affinché <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math> sia una variabile casuale è che
:<math> \{ s \in \Omega \ t.c. \ X(s) \in E \} \in F \ \ \forall E \in \xi</math> }}
Se uno spazio è discreto, basta definire le probabilità sugli eventi elementari della <math>\sigma</math>-algebra. Se <math>\Omega</math> è contiuno, è impossibile definire le probabilità per ogni elemento della <math>\sigma</math>-algebra. Avevamo definito una probabilità su un'algebra che ci permette di generare la <math>\sigma</math>-algebra di interesse,
Abbiamo visto che <math>\mathbb{B(R)}</math> può essere costruita come la più piccola <math>\sigma</math>-algebra che contiene insiemi del tipo <math>(-\infty,b] \in \mathbb{R}</math>. Dati quindi <math>\{ \Omega, F, P \}</math> e <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>X</math> è una variabile casuale se
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La soluzione dell'esercizio si trova alla pagina [[Soluzione esercizio X_s_s_2|soluzione]].}}
Se abbiamo una variabile casuale n-dimensionale, allora abbiamo n variabili casuali e viceversa. Questo non vuol dire che se abbiamo la densità congiunta di due variabili casuali
{{Matematica voce|Teorema||Consideriamo la variabile casuale n-dimensionale X su
:<math>\{\Omega, F, P\} | X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math>
misurabile da <math>(\Omega, F)</math> a <math>(\mathbb{R, B(R}^n))</math>, X ha n componenti lungo gli assi coordinati
:<math>X = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math> con <math>X_i : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>
allora ogni componente <math>X_i</math> è una variabile casuale.
{{Matematica voce|Dimostrazione||Sia <math>B \in \mathbb{B(R)}</math>. Dimostriamo che
:<math>\{s \in \Omega | X(s) \in B \} \in F \rightarrow (l,F,P)</math>
Vale
▲{{Matematica voce|Dimostrazione||Sia <math>B \in \mathbb{B(R)}</math>. Dimostriamo che <math>\{s \in \Omega | X(s) \in B \} \in F \rightarrow (l,F,P)</math>.
:<math>X_i(s) \in B \Leftrightarrow X_1(s) \in \mathbb{R}, X_2
Questo è vero se e solo se
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Nella maggior parte dei casi la <math>F_X</math> si definisce direttamente nella definizione di variabile casuale.
La distribuzione di probabilità <math>F_X</math> soddisfa le seguenti proprietà:
::<math>\exists \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}F_X(\alpha-\epsilon) = F_X(\alpha^-)</math>
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