Variabili casuali: differenze tra le versioni

Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Correzioni
m Correzioni varie
Riga 64:
<math>X(s)</math> è indicata anche come <math>I_A(s)</math> ed è detta funzione indicatrice dell'evento A.
 
A conclusione di questo, dato che

:<math>B \in F \ \forall B' \in F'</math>,

allora <math>I_A(\cdot)</math> è una variabile casuale.
 
Notare che l'immagine di <math>\Omega</math> attraverso <math>I_A(\cdot)</math> è un insieme finito, quindi <math>X</math> è una variabile casuale discreta.
Line 74 ⟶ 78:
:<math>F=\{ T, C, \Omega, \varnothing\}</math>
 
:<math>P:F \rightarrow [0,1]</math> con <math>P(\{T\}) = P(\{C\}) = \frac{1/}{2}</math>
 
Consideriamo X come:
Line 89 ⟶ 93:
Il seguente lemma permette di restringere la verifica ad un sottoinsieme di boreliani.
 
{{Matematica voce|Lemma||Sia <math>\xi</math> una collezione di insiemi in <math>\mathbb{R}</math> tali che <math>\sigma(\xi) = \mathbb{B(R)} = F'</math>. Dato lo spazio di probabilità <math>\{\Omega, F, P\}</math>, condizione necessaria sufficiente affinché <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math> sia una variabile casuale è che
{{Matematica voce|Lemma||
Sia <math>\xi</math> una collezione di insiemi in <math>\mathbb{R}</math> tali che <math>\sigma(\xi) = \mathbb{B(R)} = F'</math>. Dato <math>\{\Omega, F, P\}</math>, condizione necessaria sufficiente affinché <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math> sia una variabile casuale è che
 
:<math> \{ s \in \Omega \ t.c. \ X(s) \in E \} \in F \ \ \forall E \in \xi</math> }}
 
Se uno spazio è discreto, basta definire le probabilità sugli eventi elementari della <math>\sigma</math>-algebra. Se <math>\Omega</math> è contiuno, è impossibile definire le probabilità per ogni elemento della <math>\sigma</math>-algebra. Avevamo definito una probabilità su un'algebra che ci permette di generare la <math>\sigma</math>-algebra di interesse, possoin modo tale da estendere la misura di probabilità alla <math>\sigma</math>-algebra. La stessa cosa accade qui: andiamo a trovare la controimmagine per un sottoinsieme di boreliani, e possiamo poi estendere a tutti gli eventi che sono nell'insieme boreliano. È la stessa cosa. Usiamo la funzione X per generare il nostro sottoinsieme di eventi, verifichiamo che esistano le controimmagini sul sottoinsieme definito ed abbiamo finito.
 
Abbiamo visto che <math>\mathbb{B(R)}</math> può essere costruita come la più piccola <math>\sigma</math>-algebra che contiene insiemi del tipo <math>(-\infty,b] \in \mathbb{R}</math>. Dati quindi <math>\{ \Omega, F, P \}</math> e <math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>, <math>X</math> è una variabile casuale se
Line 115 ⟶ 118:
La soluzione dell'esercizio si trova alla pagina [[Soluzione esercizio X_s_s_2|soluzione]].}}
 
Se abbiamo una variabile casuale n-dimensionale, allora abbiamo n variabili casuali e viceversa. Questo non vuol dire che se abbiamo la densità congiunta di due variabili casuali, questepossiamo sonoverificare indipendenti.l'indipendenza: Bisognabisogna prima calcolare le marginali e poi lavorare su quelle.
 
{{Matematica voce|Teorema||Consideriamo la variabile casuale n-dimensionale X su
 
:<math>\{\Omega, F, P\} | X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math>
 
misurabile da <math>(\Omega, F)</math> a <math>(\mathbb{R, B(R}^n))</math>, X ha n componenti lungo gli assi coordinati
 
:<math>X = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math> con <math>X_i : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>
 
allora ogni componente <math>X_i</math> è una variabile casuale.
 
{{Matematica voce|Dimostrazione||Sia <math>B \in \mathbb{B(R)}</math>. Dimostriamo che <math>\{s \in \Omega | X(s) \in B \} \in F \rightarrow (l,F,P)</math>.
 
:<math>\{s \in \Omega | X(s) \in B \} \in F \rightarrow (l,F,P)</math>
{{Matematica voce|Teorema||Consideriamo la variabile casuale n-dimensionale X su <math>\{\Omega, F, P\} | X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n</math> misurabile da <math>(\Omega, F)</math> a <math>(\mathbb{R, B(R}^n))</math>, X ha n componenti lungo gli assi coordinati <math>X = (X_1, X_2, \cdots, X_n)</math> con <math>X_i : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>, allora ogni componente <math>X_i</math> è una variabile casuale.
 
Vale
{{Matematica voce|Dimostrazione||Sia <math>B \in \mathbb{B(R)}</math>. Dimostriamo che <math>\{s \in \Omega | X(s) \in B \} \in F \rightarrow (l,F,P)</math>.
 
:<math>X_i(s) \in B \Leftrightarrow X_1(s) \in \mathbb{R}, X_2(s) \in \mathbb{R}, \cdots X_{i-1}(s) \in \mathbb{R}, X_i(s) \in \mathbb{R}, X_{i+1}(s) \in \mathbb{R}, \cdots X_n(s) \in \mathbb{R}</math>
 
Questo è vero se e solo se
Line 166 ⟶ 180:
Nella maggior parte dei casi la <math>F_X</math> si definisce direttamente nella definizione di variabile casuale.
 
La distribuzione di probabilità <math>F_X</math> soddisfa le seguenti proprietà:
:1.# <math>F_X</math> è non decrescente
:2.# <math>F_X(-\infty) = \lim_{\alpha \rightarrow -\infty} F_X(\alpha) = 0</math>
:3.# <math>F_X(\infty) = \lim_{\alpha \rightarrow \infty} F_X(\alpha) = 1</math>
:4.# <math>F_X(\alpha^+) = \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+} F_X(\alpha + \epsilon) = F_X(\alpha) \ \forall \alpha \in \mathbb{R}</math>, cioè <math>F_X</math> è continua a destra;
:5.# <math>F_X</math> ammette limite sinistro, ossia
::<math>\exists \lim_{\epsilon \rightarrow 0^+}F_X(\alpha-\epsilon) = F_X(\alpha^-)</math>