Variabili casuali: differenze tra le versioni
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Le '''variabili casuali''' sono funzioni che permettono di associare un numero al risultato di un esperimento. Questo viene fatto per riportare tutto in uno spazio matematico,
{{Matematica voce|Esempio||Consideriamo come esempio il caso in cui si vuole monitorare l'apertura e la chiusura di 100 porte di un centro commerciale. Se vediamo lo spazio di probabilità classico, avremo, considerando una sola porta, <math> \Omega = \{ \text{aperta}, \text{chiusa} \}</math>. Queste porte potrebbero essere indipendenti.
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Un [[w:Algebra di Borel|boreliano]] <math>B \in \mathbb{B}(\mathbb{R})</math> è ad esempio un insieme della forma <math>(a,b],[a,b],(a,b)</math> con <math>a<b</math>
:<math>\{ s\in \Omega \ t.c.\ X(s) \in B' \} \in F \ \forall B' \in \mathbb{B}(\mathbb{R})</math>
consente di attribuire una probabilità agli eventi specificati dai valori assunti dalla variabile casuale.
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#<math>a<X<b</math>}}
Questo perché <math>X \le
:<math>\{ s \in \Omega
e
:<math>P(X \le b) \hat{=} P(\{s\in \Omega t.c. X(s) \in (-\infty,b]\})</math>
Questo è ben definito, perché
* <math>P:F\rightarrow [0,1]</math>
Se la funzione misurabile è effettivamente una variabile casuale, per ogni evento nello spazio di arrivo possiamo trovare una controimmagine nello spazio di probabilità originario. Nella controimmagine <math>A</math> abbiamo definito la probabilità, quindi è possibile trovare sempre un valore di probabilità associato al valore della variabile casuale e viceversa.
Quello che non deve succedere è che, tornando indietro, venga generata una controimmagine che non appartiene ad <math>F</math>.
== Funzione indicatrice ==
{{Matematica voce|Definizione|Funzione indicatrice|Dato lo spazio di probabilità <math>\{\Omega, F, P\}</math>, consideriamo l'evento <math>A \in F</math> come l'unico evento che ci interessa. Definita la funzione indicatrice :<math>X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>
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come
:<math>X(s) = \left\{ \begin{matrix} 1 & s\in A \\ 0 & s \in \bar{A} \end{matrix}\right.</math> }}
Consideriamo il generico boreliano <math>B' \in \mathbb{B}(\mathbb{R})</math> e determiniamo la controimmagine data da <math>\{ s \in \Omega
[[Immagine:funzione_indicatrice.png|center|500px|right|Fig.2 - Funzione indicatrice]]
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<math>B = \{s \in \Omega \ t.c. \ X(s) \in B^\prime \} = \left\{ \begin{matrix} A & 0 \not\in B, 1 \in B^\prime \\ \bar{A} & 0 \in B^\prime, 1 \not\in B^\prime \\ \varnothing & 0,1 \not\in B^\prime \\ \Omega & 0,1 \in B^\prime \end{matrix}\right.</math>
A conclusione di questo, dato che <math>B \in F \ \forall B' \in F'</math>, allora <math>I_A(\cdot)</math> è una variabile casuale.
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