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Nel [[w:1834|1834]] [[w:Ernst Weber|Ernst Weber]] notò che
 
:<math>\mathrm{JND} \propto I \iff \mathrm{JND} = k \cdot I</math>
 
ovvero che la JND è [[w:Proporzionalità_(matematica)|direttamente proporzionale]] all'intensità I dello stimolo iniziale; k è una [[w:Proporzionalità_(matematica)|costante di proporzionalità]] i cui valori variano a seconda del tipo di stimolo. Ad esempio per la pesantezza, k è pari a circa 0,02: quindi la JND per un peso di 50 gr è pari a 0.02 volte 50 gr, cioè 1 gr, mentre per un peso di 500 gr la JND risulta uguale a 10 gr.
 
Successivamente [[w:Gustav Fechner|Fechner]] proseguì il ragionamento partendo da una formula simile a quella di Weber.
 
:<math>\ dp = k\frac{dS}{S} [1]</math>
 
dove <math>\ dS</math> è la variazione dell'intensità dello stimolo, <math>\ S</math> è l'intensità iniziale dello stesso, <math>\ k</math> è un parametro dipendente dall'unità di misura dello stimolo e <math>\ dp</math> è la variazione della percezione dell'intensita dello stimolo in questione. Il termine <math>\ dp</math> non ha lo stesso significato della JND. Infatti, <math>\ dp</math> indica solo la differenza percepita tra i due stimoli, non la differenza ''minima'' che può essere percepita. Cioè la differenza percepita tra due stimoli di differente intensità è direttamente proporzionale al rapporto tra le intensità dei due stimoli.
[[Integrale|Integrando]] entrambi i membri della [1] si ottiene che
 
:<math>\ \int dp = k \int \frac{dS}{S} \to p = k \ln{S} + C </math>
 
dove <math>\ C </math> è la costante di integrazione.
 
È possibile determinare lo stato iniziale dello stimolo, ovvero il livello di stimolo tale che la percezione risulta nulla, ponendo <math>\ p=0 </math> ed ottenendo così:
 
:<math>\ C = - k \ln{S_0} </math>
 
da cui risulta l'espressione formale della legge di Weber-Fechner:
 
<center><math> p = k \ln{\frac{S}{S_0}}. </math></center>
 
Da questa formula si evince che l'intensità percepita è proporzionale al logaritmo del rapporto tra l'intensità dello stimolo <math>\ S</math> e quello dello stimolo <math>\ S_0</math>. In modo intuitivo questa formula significa che l'intensità percepita varia a seconda dei rapporti tra gli stimoli e che più il rapporto è grande, meno velocemente la soglia differenziale aumenta.
 
== Note ==