Variabili casuali: differenze tra le versioni

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è una variabile casuale n-dimensionale. Questa verifica è banale ed è lasciata per esercizio. }} }}
 
== Distribuzioni delle variabili casuali ==
 
{{Matematica voce|Definizione|Distribuzione di una variabile casuale|Dato <math>(\Omega, F, P)</math>, sia <math>X</math> una variabile casuale, <math>X : \Omega \rightarrow \mathbb{R}</math>. Si defisce funzione di distribuzione della variabile casuale <math>X</math>
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[[Immagine:Scalini_dado.jpg|center|Funzione di probabilità della variabile casuale discreta modificata "dado".]] }}
 
=== Variabili casuali notevoli continue ===
==== Esponenziale di parametro <math>\lambda > 0</math> ====
 
:<math>f(x) = \left\{ \begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x} & \forall x \le 0 \\ 0 & \text{altrove}\end{matrix}\right. \ \lambda > 0</math>
 
<source lang="matlab">
> x1=[-10:0.01:0];
> x2=[0.01:0.01:10];
> lambda = 1; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = lambda .* exp(- lambda .* x2);
> plot([x1 x2], [zeros(size(x1) f_x)])
</source>
 
==== Esponenziale bilatera, o di [[w:Pierre Simon Laplace|Laplace]] ====
 
:<math>f(x) \frac{\lambda}{2} e^{-\lambda |x|} \ \lambda > 0</math>
 
<source lang="matlab">
> x=[-10:0.001:10];
> lambda = 1; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = lambda/2 .* exp(- lambda .* abs(x));
> plot(x, f_x)
</source>
 
{{Matematica voce|Esempio|La codifica predittiva|
[[Immagine:TFA esempio codifica predittiva.png|center|TFA esempio codifica predittiva.png]]
 
La codifica predittiva utilizza parecchio la variabile casuale di Laplace. Si vuole comprimere un video, una serie di fotogrammi <math>[i-1, i, i+1]</math>. In generale, la funzione di densità di probabilità dei pixel sarà uniforme; al contrario, però, la funzione di densità di probabilità di
 
:<math>E = I_i - I_{i-1}</math>
 
sarà del tipo di Laplace. La funzione <math>E</math> è detta ''il predittore'': migliore è il predittore, più i valori si concentrano attorno allo zero con distribuzione di Laplace. }}
 
==== Variabile casuale di [[w:John William Strutt Rayleigh|Rayleigh]] di parametro <math>b>0</math> ====
 
:<math>f(x)=\left\{ \begin{matrix} \frac{2x}{b} \cdot e^{-\frac{x^2}{b}} & x \ge 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{matrix} \right.</math>
 
<source lang="matlab">
> x1=[-10:0.01:0];
> x2=[0.01:0.01:10];
> b = 1; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = x2 .* 2/b .* exp(-x^2./b)
> plot([x1 x2], [zeros(size(x1) f_x)])
</source>
 
==== Mixture gaussiane====
 
Sono le variabili casuali le cui densità di probabilità si possono scrivere come combianzione lineare di gaussiane pesate.
 
{{Matematica voce|Esempio||Abbiamo due contenitori di gas <math>C_1</math> e <math>C_2</math>, collegati tra loro da un tubo con rubinetto. I due gas sono a pressioni diverse. L'energia delle molecole dei due contenitori è distribuita secondo due gaussiane,
* <math>N(\mu_1, \sigma_1)</math>
* <math>N(\mu_2, \sigma_2)</math>
 
Aprendo il rubinetto, la densità di probabilità dell'energia delle molecole sarà una combinazione delle due gaussiane, quindi una mixtura gaussiana. }}
 
{{Matematica voce|Esempio|Query by sample|Abbiamo tante immagini in un database e vogliamo cercare quelle che sono simili ad un'immagine di esempio. Quello che si può fare per confrontare queste immagini è usare l'istogramma del colore, indipendente dalle dimensioni delle immagini e che è rappresentabile come somma di un certo numero di gaussiane. Se per esempio rappresento l'istogramma con 4 gaussiane, con 8 numeri <math>\mu_i, \sigma,_i</math> sono in grado di rappresentare immagini magari di <math>3000 \times 3000</math> punti, su cui fare calcoli di distanza sarebbe un lavoro molto oneroso.}}
 
=== Variabili casuali notevoli discrete ===
 
==== Variabile casuale di Bernoulli ====
 
La variabile casuale di [[w:Jakob Bernoulli|Bernoulli]] è di parametro <math>p</math>.
 
:<math>p^x \cdot (1-p)^{1-x} = p \delta(x-1) + (1-p)\delta(x)</math>
 
ed è valida soltanto per <math>x = 0,1</math>
 
<source lang="matlab">
> x=[0,1];
> p = .2; % valore scelto arbitrariamente
> f_x = [(1-p), p];
> stem(x, f_x)
</source>
 
==== Binomiale di parametri <math>p</math> e <math>n</math> ====
 
:<math>f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \binom{n}{x} \cdot p^x (1-p)^{n-x} & x \\ 0 & \text{altrimenti} \end{matrix} \right.</math>
 
:<math>f_X(x) = \sum_{k=0,n}\binom{n}{x} p^k (1-p)^{n-k}</math>
 
==== Variabile casuale [[w:Siméon-Denis Poisson|poissoniana]] ====
 
:<math>f_X(x) = \left\{ \begin{matrix} \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} & x \\ 0 & \text{altrimenti} \end{matrix}\right.</math>
 
da cui
 
:<math>f_X(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{ e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \delta (x-k)</math>
 
Questa variabile casuale è utile per le prove ripetute con <math>np=\lambda</math> e <math>n \to \infty</math>
 
 
 
 
[[Categoria:Lezioni]]