Strutture algebriche: differenze tra le versioni
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* <math>1 \le x < n</math>
* <math>1 \le y < n</math>
* <math>x > y </math> per comodità.
Allora, si ha
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{{Matematica voce|Definizione|Generatore|Un elemento <math>g \in G</math> di un gruppo ciclico <math>G</math> è un generatore di <math>G</math>.}}
{| class="wikitable"
! <math>\left(\mathbb{Z}_{13},\cdot\right)</math> !! [0] !! [1] !! [2] !! [3] !! [4] !! [5] !! [6] !! [7] !! [8] !! [9] !! [10] !! [11] !! [12]
|-
| [0] || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0
|-
| [1] || 0 || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12
|-
| [2] || 0 || 2 || 4 || 6 || 8 || 10 || 12 || 1 || 3 || 5 || 7 || 9 || 11
|-
| [3] || 0 || 3 || 6 || 9 || 12 || 2 || 5 || 8 || 11 || 1 || 4 || 7 || 10
|-
| [4] || 0 || 4 || 8 || 12 || 3 || 7 || 11 || 2 || 6 || 10 || 1 || 5 || 9
|-
| [5] || 0 || 5 || 10 || 2 || 7 || 12 || 4 || 9 || 1 || 6 || 11 || 3 || 8
|-
| [6] || 0 || 6 || 12 || 5 || 11 || 4 || 10 || 3 || 9 || 2 || 8 || 1 || 7
|-
| [7] || 0 || 7 || 1 || 8 || 2 || 9 || 3 || 10 || 4 || 11 || 5 || 12 || 6
|-
| [8] || 0 || 8 || 3 || 11 || 6 || 1 || 9 || 4 || 12 || 7 || 2 || 10 || 5
|-
| [9] || 0 || 9 || 5 || 1 || 10 || 6 || 2 || 11 || 7 || 3 || 12 || 8 || 4
|-
|[10] || 0 || 10 || 7 || 4 || 1 || 11 || 8 || 5 || 2 || 12 || 9 || 6 || 3
|-
|[11] || 0 || 11 || 9 || 7 || 5 || 3 || 1 || 12 || 10 || 8 || 6 || 4 || 2
|-
|[12] || 0 || 12 || 11 || 10 || 9 || 8 || 7 || 6 || 5 || 4 || 3 || 2 || 1
|}
Osservando la tabella <math>\mathbb{Z}_{13}</math> si vede che:
* <math>o(1)=1</math>
* <math>o(3)=o(9)=3</math>
* <math>o(4)=o(10)=6</math>
* <math>o(5)=o(8)=4</math>
I valori 2, 5, 7 e 11 hanno periodo 12, quindi sono elementi generatori, o elementi primitivi, di <math>G</math>.
{{Matematica voce|Teorema|Teorema di Lagrange|L'ordine di un sottogruppo di un gruppo finito divide l'ordine del gruppo.}}
Abbiamo visto che <math>6^k</math> genera <math>\left( \mathbb{Z}_{13} \setminus \{0\}, \cdot \right)</math> sse <math>(k,12) = 1</math>.
:<math><6> = \{ 6 , 10 , 8 , 9 , 2, 12 , 7 , 3 , 5 , 4 , 11 , 1 \} = \left\{ 6^1 , 6^2 , 6^3 , 6^4 , 6^5 , 6^6 , 6^7 , 6^8 , 6^9 , 6^{10} , 6^{11} , 6^{12} \right\}</math>
Allora , ci sono 3 possibili sottogruppi di <math><6></math> e sono generati da 2, 7 e 11.
[[Categoria:Lezioni]]
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