Strutture algebriche: differenze tra le versioni

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== Anelli ==
 
{{Matematica voce|Definizione|Monoide|Un insieme <math>A</math> con un'operazione generica <math>\star</math> da origine ad una struttura <math>(A,\star)</math> detta monoide.}}
 
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:<math>\bar{x} = e \star \bar{x} = (\bar{\bar{x}} \star x) \star x = e \star \bar{\bar{x}} = \bar{\bar{x}}</math> }} }}
 
{{Matematica voce|Definizione|Gruppo|Una Ciao}}struttura <math>(G,\star)</math> è un gruppo se:
#l'operazione <math>\star</math> è associativa;
{{categorizzare}}
#esiste l'elemento neutro <math>e</math>;
#<math>\forall x \in G \ \exists \bar{x} | x \bar{x} = \bar{x} x = e</math>, cioè esiste l'elemento simmetrico (inverso). }}
 
{{Matematica voce|Definizione|Gruppo abeliano|Un gruppo <math>(G,\cdot)</math> si dice abeliano se gode della proprietà commutativa.}}
 
Esempi.
* <math> (\mathbb{N}, +) </math> è un semigruppo, non ha il simmetrico
* <math> (\mathbb{N}, \cdot ) </math> è un semigruppo, non ha il simmetrico
* <math> (\mathbb{Z}, +) </math> è un gruppo abeliano
* <math> (\mathbb{Z}, \cdot ) </math> è un semigruppo (sono simmetrizzabili solo <math>\pm 1</math>)
 
{{Matematica voce|Definizione|Anello|Una struttura <math>(A,+,\cdot)</math> con due operazioni è un anello se, rispetto alla somma si ha un gruppo abeliano e rispetto al prodotto si ha un semigruppo. Devono inoltre valere le proprietà distributive rispetto alla somma.}}
 
Nell'esempio, <math> (\mathbb{Z}, + ) </math> è un gruppo abeliano, <math> (\mathbb{Z}, \cdot ) </math> è un semigruppo. Siccome valgono le distributive, allora <math> (\mathbb{Z}, +, \cdot ) </math> è un anello.
 
{{Matematica voce|Definizione|Anello unitario|Un anello <math>(A,+,\cdot)</math> si dice unitario se esiste l'unità moltiplicativa, l'<math>1</math>.}}
 
{{Matematica voce|Definizione|Anello commutativo|Un anello <math>(A,+,\cdot)</math> si dice commutativo se l'operazione di prodotto <math>\cdot</math> è commutativa.}}
 
 
{{Matematica voce|Definizione|Divisore dello zero|Un elemento <math>0 \neq x \in (A,+\cdot)</math> anello commutativo unitario è divisore dello zero se
:<math>\exists u \neq 0, \ y \in (A,+,\cdot) | x \cdot y = 0</math>}}
 
{{Matematica voce|Definizione|Dominio d'integrità|Un anello <math>(A,+,\cdot)</math> commutativo unitario è un dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.}}
 
{{Matematica voce|Definizione|Campo|Una struttura <math>K</math> con due operazioni, <math>(K,+,\cdot)</math> è un campo se:
# <math>(K,+)</math> è un gruppo abeliano;
# <math>(K \setminus \{0\}, \cdot)</math> è un gruppo abeliano;
# valgono le proprietà distributive.}}
 
Per esempio,
* <math>(\mathbb{Q},+)</math> è un gruppo abeliano
* <math>(\mathbb{Q} \setminus \{0\},\cdot)</math> è un gruppo abeliano
quindi <math>(\mathbb{Q},+,\cdot)</math> è un campo. Anche <math>(\mathbb{R},+,\cdot)</math> è campo, così come <math>(\mathbb{C},+,\cdot)</math>. Nelle classi di resti, <math>(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)</math> è anello, perché <math>(\mathbb{Z}_n,\cdot)</math> è soltanto un semigruppo.
 
{{Matematica voce|Teorema||Un elemento invertibile di un anello non può essere divisore dello zero.
 
{{Matematica voce|Dimostrazione||Siz <math>x \neq 0</math> invertibile, cioè
 
:<math>\exists \bar{x} | \bar{x} x = x \bar{x} = 1 </math>
 
Sia <math>x</math> divisore dello zero, cioè <math>\exists y \neq 0 | x \cdot y =0</math>. Allora, si ha l'assurdo
 
:<math>\bar{x}(xy)=(\bar{x} x ) y = 0 \Rightarrow y = 0</math> }} }}
 
{{Matematica voce|Teorema||L'anello <math>(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)</math> è campo sse <math>n</math> è un [[w:Numero primo|numero primo]].
 
{{Matematica voce|Dimostrazione||Per la dimostrazione, abbiamo bisogno di ancora un po' di strumenti.}} }}
 
 
[[Categoria:Lezioni]]
[[Categoria:Matematica discreta]]