Materia:Logica matematica: differenze tra le versioni

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La logica matematica è il settore della matematica che studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, comutabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali. Fragmenti delIl linguaggio usato dai matematici e dagli informatici puopuò essere formalizzato e, in questo modo i concetti apparentemente informali (come definizione, conseguenza logica, computazione) diventano loro stessi oggetti matematici chee possono esserevengono studiati e compresi con le tecniche e la metodologie tipiche della matematica.
 
La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Goedel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church).
 
La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria.
 
==Indicazioni per gli studenti ==
 
 
===Prerequisiti===
Esperienza con la pratica del ragionamento matematico (in matematica si procede dal particolare al generale ovvero: prima la pratica e poi la grammatica).
Nessuno.
 
=== Programma ===
 
Incompleto!!!
 
==== Strumenti minimi di teoria degli insiemi ====
 
Ordinali, cardinali.
 
==== Linguaggi del prim'ordine ====
 
Le strutture ed i linguaggi del prim'ordine. Termini, formule, insiemi definibili. Enunciati, teorie.
 
Sottostrutture, sottostrutture elementari. Immersioni parziali, mappe elementari. Il test di Tarski-Vaught il teorema di Löwenheim-Skolem
 
Esempi: ordini lineari,, grafi, algebre booleane, gruppi, anelli, spazi vettoriali, campi.
 
==== Calcolo sintattico ====
 
(Per chi ha intersssi fondazionali o in teoria della dimostrazione) Tablaux, teorema di completezza.
 
==== Reticoli, filtri, ultrafiltri e ultraprodotti ====
 
Filtri, ultrafiltri, dualita di Stone.
 
Ultraprodotti e teorema di Łoš.
 
==== Il teorema di compattezza ====
 
Tre dimostrazioni: derivato dal teorema di completezza; dimostrato usando le costanti di Henkin (per chi ha saltato il capitolo sul teorema di completezza); con gli ultraprodotti.
 
==== Teoria della calcolabilita ====
 
Le funzioni primitive calcolabili, le funzioni calcolabili.
 
Gli insiemi semicalcolabili. Il problema della terminazione.
 
 
== Materiale di studio==