Materia:Logica matematica: differenze tra le versioni
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La logica matematica è il settore della matematica che studia i concetti di definibilità, dimostrabilità, comutabilità, e molti altri che emergono nel contesto di sistemi formali.
La logica matematica moderna nasce all'inizio del ventesimo secolo. In quegli anni i paradossi della teoria degli insiemi (cf. Russell) e i metodi di dimostrazione non costruttivi (cf. Hilbert) avevano scosso la comunità matematica. Di conseguenza l'interesse dei logici in quegli hanni si rivolge soprattutto ai fondamenti. Per esempio: si dimostrano teoremi di completezza e di incompletezza del calcolo formale (Goedel), si assiomatizzano importanti teorie quali la teoria degli insiemi (Zermelo-Fraenkel), si formalizza il concetto di computazione effettiva (Turing, Church).
La logica matematica acquista maturità nella seconda metà del secolo scorso. La teoria degli insiemi e la teoria dei modelli hanno un impetuoso sviluppo che porta alla luce interazioni profonde con parti dell'analisi matematica (teoria ergodica, analisi funzionale) e parti dell'algebra e la geometria.
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==Indicazioni per gli studenti ==
===Prerequisiti===
Esperienza con la pratica del ragionamento matematico (in matematica si procede dal particolare al generale ovvero: prima la pratica e poi la grammatica).
=== Programma ===
Incompleto!!!
==== Strumenti minimi di teoria degli insiemi ====
Ordinali, cardinali.
==== Linguaggi del prim'ordine ====
Le strutture ed i linguaggi del prim'ordine. Termini, formule, insiemi definibili. Enunciati, teorie.
Sottostrutture, sottostrutture elementari. Immersioni parziali, mappe elementari. Il test di Tarski-Vaught il teorema di Löwenheim-Skolem
Esempi: ordini lineari,, grafi, algebre booleane, gruppi, anelli, spazi vettoriali, campi.
==== Calcolo sintattico ====
(Per chi ha intersssi fondazionali o in teoria della dimostrazione) Tablaux, teorema di completezza.
==== Reticoli, filtri, ultrafiltri e ultraprodotti ====
Filtri, ultrafiltri, dualita di Stone.
Ultraprodotti e teorema di Łoš.
==== Il teorema di compattezza ====
Tre dimostrazioni: derivato dal teorema di completezza; dimostrato usando le costanti di Henkin (per chi ha saltato il capitolo sul teorema di completezza); con gli ultraprodotti.
==== Teoria della calcolabilita ====
Le funzioni primitive calcolabili, le funzioni calcolabili.
Gli insiemi semicalcolabili. Il problema della terminazione.
== Materiale di studio==
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