Sistemi lineari: differenze tra le versioni

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Adesso che abbiamo visto come risolvere i sistemi lineari ridotti a scala, vediamone le proprietà fondamentali.
===Proprietà dei sistemi lineari a scala===
====Lemma====
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
: Sia <math>S \in M_{m,n}(\mathbb{R}) </math> una matrice a scala con <math>r</math> pivot. Poniamo
 
:<math>V_r = \left\{ \left( \begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right) \in \mathbb{R}^m \mid b_1, \cdots, b_r \in \mathbb{R} \right\} = <e_1, \cdots, e_r> </math>
:con <math><e_1, \cdots, e_r></math> la base canonica di <math>\mathbb{R}^r \subset \mathbb{R}^m</math>.
 
:Poniamo inoltre con <math>S^{j_h}</math> la colonna ''j-esima'' di <math>S</math> in cui compare il ''h-esimo '' pivot <math>p_{h, h=1,\ldots,r}</math>.
 
:Allora:
:# <math>V_r = {\rm Im} S</math>
:# <math>r = {\rm rg} S</math>
:#<math> \left\{ S^{j_1},\ldots,S^{j_r} \right\}</math> è una base di <math>{\rm Im} S</math>
</div>
''' ''Dimostrazione.'' '''
# Tutte le colonne di <math>S</math> sono della forma <math>\left( \begin{matrix} s_1 \\ \vdots \\ s_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right)</math>, dunque appartengono a <math>V_r</math> e sono un sistema di generatori (per il significato di applicazione lineare di una matrice) di <math>{\rm Im}S</math>, quindi sicuramente <math>{\rm Im}S \subseteq V_r</math>. Tuttavia, abbiamo che
:<math>\sum_{i=1}^{r} x_i S^{j_i} = \left( \begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{matrix} \right)</math>, cioè <math> < S^{j_1},\ldots,S^{j_r} > = V_r </math> e quindi <math>{\rm Im}S = V_r</math>.
 
:2 . Sappiamo dall'ipotesi che <math>\dim V_r = \dim \{e_1,\ldots,e_r \} = r</math>, ma <math> V_r = {\rm Im}S</math> e se due insiemi sono uguali è evidente che eguale è anche la loro dimensione. Quindi <math>{\rm rg}S = r</math>
 
<!--
:3 . Abbiamo fatto vedere al punto 1 che le colonne di S contenti pivot sono un sistema di generatori di <math>{\rm Im} S</math>. Per dimostrare che sono una base, facciamo vedere che sono linearmente indipendenti, equivalente a far vedere che il sistema omogeneo
:<math>\alpha_1 S^{j_1} +\alpha_2 S^{j_2} \cdots \alpha_r S^{j_r} = 0 </math> ha come unica soluzione <math>\alpha_1=\ldots=\alpha_r=0</math>. COMPLETARE LA DIM DELL'ULTIMO PUNTO-->
 
 
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