Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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:Risolviamolo all'indietro, cioè ripetiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan stavolta partendo dal basso:
:abbiamo la matrice <math>S=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) c=\left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\0\end{array}\right) </math> e partiamo da basso prendendo come pivot il primo valore da destra non nullo, cioe' <math>2=p_{r1}</math> e, di nuovo, sostiuiamo alla prima riga di <math>S</math> e di <math>S</math> la combinazione lineare ottenuta come avevamo fatto prima, cioè <math>R_1 = R_1 -\frac{1}{2} R_2</math> ottenendo la matrice
:<math>S=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & \frac{11}{2} & 0 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) c=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} \\-3 \\0\end{array}\right) </math>.
:Abbiamo ora terminato l'algoritmo di Gauss e procediamo a risolvere il sistema lineare equivalente ottenuto. Risolviamo allora il sistema:
<br/>
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +\frac{11}{2}x_3 & & = & -\frac{1}{2} \\ & & -3x_3 & +2x_4 & = & -3\end{array}\right. \rightarrow </math>
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}2x_1 & = & -\frac{1}{2} & +x_2 & -\frac{11}{2}x_3 & \\ -3x_3 & = & -3 & -2x_4 & & \end{array}\right. \rightarrow
</math>
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}x_1 & = & -\frac{1}{4} & +\frac{1}{2}x_2 & -\frac{11}{4}x_3 & \\ x_3 & = & 1 & +\frac{2}{3}x_4 & & \end{array}\right. \rightarrow
</math>
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}x_1 & = & -\frac{1}{4} & +\frac{1}{2}x_2 & -\frac{11}{4}\left( 1 +\frac{2}{3}x_4 \right) & \\ x_3 & = & 1 & +\frac{2}{3}x_4 & & \end{array}\right. \rightarrow
</math>
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}x_1 & = & -\frac{1}{4} & +\frac{1}{2}x_2 & -\frac{11}{4} - \frac{11}{6}x_4 & \\ x_3 & = & 1 & +\frac{2}{3}x_4 & & \end{array}\right. \rightarrow
</math>
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}x_1 & = & -3 & +\frac{1}{2}x_2 & - \frac{11}{6}x_4 & \\ x_3 & = & 1 & +\frac{2}{3}x_4 & & \end{array}\right. \rightarrow
</math>
Abbiamo dunque trovate le soluzioni di questo sistema, con <math>x_1,x_3</math> variabili dipendenti e <math>x_2,x_4</math> variabili libere.
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