Sistemi lineari: differenze tra le versioni

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accenti
m (accenti)
In questa lezione vedremo alcune tecniche per risolvere dei sistemi di equazioni lineari generici, quindi non per forza quadrati.
 
Un '''sistema lineare''' èè di ''m'' equazioni in ''n'' incognite del tipo
:<math>\left\{
\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\
\right.</math>
 
abbiamo gi&agrave;già visto che possiamo provare a risolvere utilizzando il metodo di sostituzione oppure [[w:Algoritmo_di_Gauss-Jordan | l'eliminazione di Gauss]] nel caso il sistema sia quadrato, cio&egrave;cioè <math>m=n</math>. Vediamo ora dei metodi pi&ugrave; efficaci per risolvere un qualunque sistema lineare.
 
==Riduzione a Scala e Algoritmo di Gauss-Jordan==
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
'''''Definizione''''': ''Una matrice si dice '''a scala''' se &egrave;è siffatta''
 
:<math>
</math>
 
: ''Gli * indicano che pu&ograve;può esserci qualsiasi cosa e i <math>p_i \in \mathbb{R}^*, q \leq i \leq r</math> (quindi tutti non nulli) sono gli <math>r</math> pivot della matrice a scala.
 
''Il sistema lineare associato si dice '''sistema a scala'''.''
'' </div>
 
La matrice a scala ed il Metodo di Gauss-Jordan non &egrave;è altro che la generalizzazione di quello che avevamo visto brevemente per le matrici quadrate. Prima di studiarne le propriet&agrave;proprietà teoriche, vediamo come funziona e facciamo qualche esempio pratico per fissare le idee.
 
Come anticipato prima, il metodo di Gauss-Jordan &egrave;è molto simile all'eliminazione di Gauss per le matrici quadrate, cio&egrave;cioè &egrave;è un metodo che tramite operazioni elementari (quali lo scambio di righe, combinazioni lineari, ecc...) trasforma una matrice qualsiasi <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{R})</math> in una matrice a scala <math>S \in M_{m,n}(\mathbb{R})</math> e di conseguenza trasforma il generico sistema <math>Ax=b</math> in un sistema a scala equivalente <math>Sx=c</math>.
 
Partendo da un sistema lineare <math>Ax=b</math>, il metodo consiste nei seguenti passaggi:
* Se <math>A</math> e'è la matrice nulla, abbiamo ovviamente finito.
* Se <math>A</math> non e'è la matrice nulla, consideriamo la prima colonna che presenta un coefficiente non nullo (se necessario e'è possibile scambiare di posto le righe della matrice per avere tale coefficiente il piu' a sinistra possibile e nella prima riga, all'inizio della matrice). Sia <math>A^{j}</math> questa colonna e chiamiano tale valore non nullo ''pivot'', in questo caso <math>A_{1,j} = p_1</math>
* Rendiamo nulli tutti i valori della colonna ''j-esima'' sommando alle righe <math>1+h,h=2,\ldots,m</math> una opportuna combinazione lineare.
* Andiamo avanti considerando la colonne successiva ad <math>A^j</math> della riga 2 fino a che non troviamo una colonna <math>A^{j+a}</math> avente coefficiente non nullo. Sia <math>p_2</math> tale valore e procediamo come prima fino alla riga <math>h</math>
* Se dalla riga <math>h+1</math> in poi sono tutte nulle o <math>h</math> e'è l'ultima riga, abbiamo finito. Altrimenti continuiamo il procedimento.
* Una volta ottenuta una matrice a scala, ripetiamo il procedimento all'indietro per ottenere le soluzioni.
 
Come si nota subito, il procedimento e'è molto simile a quello dell'eliminazione di Gauss. Ma un esempio dovrebbe chiarire molto meglio il l'algoritmo.
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:'' '''Esempio (1):''' '' Consideriamo il seguente sistema lineare
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +4x_3 & +x_4 & = & -2 \\-2x_1 & +x_2 & -7x_3 & +x_4 & = & -1 \\4x_1 & -2x_2 & +5x_3 & +4x_4 & = & -7\end{array}\right.</math>
: e la sua matrice associata
:<math>A = \left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\-2 & 1 & -7 & 1 \\4 & -2 & 5 & 4\end{array}\right)</math> <math>c = \left(\begin{array}{c}-2 \\-1 \\-7\end{array}\right)</math>
 
:A non e'è nulla e il primo elemento diverso da zero che incontriamo e'è proprio <math>a_{1,1}</math>. Quindi <math>a_{1,1} = p_1</math> e procediamo ad annullare tutti i termini della prima colonna dalla riga 2 in poi con una combinazione lineare del tipo <math> R_{h+1} = R_{h+1} + \frac{-a_{h,j}}{p_j} R_h</math>
 
:<math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & -3 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\-3\end{array}\right) </math>
 
: cioe'cioè abbiamo sostiuito la riga <math>R_2</math> con <math>R_2 + R_1</math> e la riga <math>R_3</math> con <math>R_3 -2 R_1</math>. La sostituzione comprende anche la colonna dei termini noti.
 
:Ripetiamo il procedimento passando alla colonna (e riga) successive, notando che la seconda riga ha un termine non nullo (nella colonna 3). Poniamo allora <math>p_2 = -3</math> e ripetiamo il procedimento di prima. Questa volta abbiamo <math> R_3 + \frac{3}{-3} R_1 = R_3 - R_1</math> che ci da' la matrice
:<math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\0\end{array}\right) </math>
 
:Ci accingiamo a ripetere nuovamente il procedimento, ma questa volta notiamo che al di sotto della riga che abbiamo appena considerato, non abbiamo altre righe contenenti elementi non nulli. Percio'Perciò abbiamo finito, ottendo un sistema a scala e il corrispondente sistema lineare:
 
:<math>\left\{\begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +4x_3 & +x_4 & = & -2 \\ & & -3x_3 & +2x_4 & = & -3\end{array}\right. </math>
 
:Il sistema ha due pivot e il vettore dei termini noti ha dimensione 2. Un corollario che vedremo dopo ci assicurera'assicurerà che, a queste condizioni, il sistema ammette soluzioni.
 
:Risolviamolo all'indietro, cioe'cioè ripetiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan stavolta partendo dal basso:
 
</div>
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