Sistemi lineari: differenze tra le versioni
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In questa lezione vedremo alcune tecniche per risolvere dei sistemi di equazioni lineari generici, quindi non per forza quadrati.
Un '''sistema lineare'''
:<math>\left\{
\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\
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\right.</math>
abbiamo
==Riduzione a Scala e Algoritmo di Gauss-Jordan==
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
'''''Definizione''''': ''Una matrice si dice '''a scala''' se
:<math>
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</math>
: ''Gli * indicano che
''Il sistema lineare associato si dice '''sistema a scala'''.''
'' </div>
La matrice a scala ed il Metodo di Gauss-Jordan non
Come anticipato prima, il metodo di Gauss-Jordan
Partendo da un sistema lineare <math>Ax=b</math>, il metodo consiste nei seguenti passaggi:
* Se <math>A</math>
* Se <math>A</math> non
* Rendiamo nulli tutti i valori della colonna ''j-esima'' sommando alle righe <math>1+h,h=2,\ldots,m</math> una opportuna combinazione lineare.
* Andiamo avanti considerando la colonne successiva ad <math>A^j</math> della riga 2 fino a che non troviamo una colonna <math>A^{j+a}</math> avente coefficiente non nullo. Sia <math>p_2</math> tale valore e procediamo come prima fino alla riga <math>h</math>
* Se dalla riga <math>h+1</math> in poi sono tutte nulle o <math>h</math>
* Una volta ottenuta una matrice a scala, ripetiamo il procedimento all'indietro per ottenere le soluzioni.
Come si nota subito, il procedimento
<div style="float:center; width:85%; padding:15px; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">
:'' '''Esempio (1):''' '' Consideriamo il seguente sistema lineare
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +4x_3 & +x_4 & = & -2 \\-2x_1 & +x_2 & -7x_3 & +x_4 & = & -1 \\4x_1 & -2x_2 & +5x_3 & +4x_4 & = & -7\end{array}\right.</math>
: e la sua matrice associata
:<math>A = \left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\-2 & 1 & -7 & 1 \\4 & -2 & 5 & 4\end{array}\right)</math> <math>c = \left(\begin{array}{c}-2 \\-1 \\-7\end{array}\right)</math>
:A non
:<math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & -3 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\-3\end{array}\right) </math>
:
:Ripetiamo il procedimento passando alla colonna (e riga) successive, notando che la seconda riga ha un termine non nullo (nella colonna 3). Poniamo allora <math>p_2 = -3</math> e ripetiamo il procedimento di prima. Questa volta abbiamo <math> R_3 + \frac{3}{-3} R_1 = R_3 - R_1</math> che ci da' la matrice
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:<math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\0\end{array}\right) </math>
:Ci accingiamo a ripetere nuovamente il procedimento, ma questa volta notiamo che al di sotto della riga che abbiamo appena considerato, non abbiamo altre righe contenenti elementi non nulli.
:<math>\left\{\begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +4x_3 & +x_4 & = & -2 \\ & & -3x_3 & +2x_4 & = & -3\end{array}\right. </math>
:Il sistema ha due pivot e il vettore dei termini noti ha dimensione 2. Un corollario che vedremo dopo ci
:Risolviamolo all'indietro,
</div>
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