Sistemi lineari: differenze tra le versioni

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* Una volta ottenuta una matrice a scala, ripetiamo il procedimento all'indietro per ottenere le soluzioni.
 
Come potetesi notarenota subito, il procedimento e' molto simile a quello dell'eliminazione di Gauss. Ma un esempio dovrebbe chiarire molto meglio il l'algoritmo.
 
:'' '''Esempio 1''' Consideriamo il seguente sistema lineare
:<math>A = \left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\-2 & 1 & -7 & 1 \\4 & -2 & 5 & 4\end{array}\right)</math> <math>c = \left(\begin{array}{c}-2 \\-1 \\-7\end{array}\right)</math>
 
:A non e' nulla e il primo elemento diverso da zero che incontriamo e' proprio <math>a_{1,1}</math>. Quindi <math>a_{1,1} = p_1</math> e procediamo ad annullare tutti i termini della prima colonna dalla riga 2 in poi con una combinazione lineare del tipo <math> R_{h+1} = R_{h+1} + \frac{-a_{h,j}}{p_j} R_h</math>
''
 
:<math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & -3 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\-3\end{array}\right) </math>
 
: cioe' abbiamo sostiuito la riga <math>R_2</math> con <math>R_2 + R_1</math> e la riga <math>R_3</math> con <math>R_3 -2 R_1</math>. La sostituzione comprende anche la colonna dei termini noti.
 
Ripetiamo il procedimento passando alla colonna (e riga) successive, notando che la seconda riga ha un termine non nullo (nella colonna 3). Poniamo allora <math>p_2 = -3</math> e ripetiamo il procedimento di prima. Questa volta abbiamo <math> R_3 + \frac{3}{-3} R_1 = R_3 - R_1</math> che ci da' la matrice
 
:<math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\0\end{array}\right) </math>
 
:Ci accingiamo a ripetere nuovamente il procedimento, ma questa volta notiamo che al di sotto della riga che abbiamo appena considerato, non abbiamo altre righe contenenti elementi non nulli. Percio' abbiamo finito, ottendo un sistema a scala e il corrispondente sistema lineare:
 
<math>\left\{\begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +4x_3 & +x_4 & = & -2 \\ & & -3x_3 & +2x_4 & = & -3\end{array}\right. </math>
 
:Il sistema ha due pivot e il vettore dei termini noti ha dimensione 2. Un corollario che vedremo dopo ci assicurera' che, a queste condizioni, il sistema ammette soluzioni.
 
:Risolviamolo all'indietro, cioe' ripetiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan stavolta partendo dal basso:
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