Sistemi lineari: differenze tra le versioni

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(Nuova pagina: =''Lezione 5:'' Tecniche di calcolo dei sistemi lineari= Un '''sistema lineare''' è di ''m'' equazioni in ''n'' incognite del tipo :<math>\left\{ \begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_...)
 
 
Come anticipato prima, il metodo di Gauss-Jordan &egrave; molto simile all'eliminazione di Gauss per le matrici quadrate, cio&egrave; &egrave; un metodo che tramite operazioni elementari (quali lo scambio di righe, combinazioni lineari, ecc...) trasforma una matrice qualsiasi <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{R})</math> in una matrice a scala <math>S \in M_{m,n}(\mathbb{R})</math> e di conseguenza trasforma il generico sistema <math>Ax=b</math> in un sistema a scala equivalente <math>Sx=c</math>.
 
Partendo da un sistema lineare <math>Ax=b</math>, il metodo consiste nei seguenti passaggi:
* Se <math>A</math> e' la matrice nulla, abbiamo ovviamente finito.
* Se <math>A</math> non e' la matrice nulla, consideriamo la prima colonna che presenta un coefficiente non nullo (se necessario e' possibile scambiare di posto le righe della matrice per avere tale coefficiente il piu' a sinistra possibile e nella prima riga, all'inizio della matrice). Sia <math>A^{j}</math> questa colonna e chiamiano tale valore non nullo ''pivot'', in questo caso <math>A_{1,j} = p_1</math>
* Rendiamo nulli tutti i valori della colonna ''j-esima'' sommando alle righe <math>1+h,h=2,\ldots,m</math> una opportuna combinazione lineare.
* Andiamo avanti considerando la colonne successiva ad <math>A^j</math> della riga 2 fino a che non troviamo una colonna <math>A^{j+a}</math> avente coefficiente non nullo. Sia <math>p_2</math> tale valore e procediamo come prima fino alla riga <math>h</math>
* Se dalla riga <math>h+1</math> in poi sono tutte nulle o <math>h</math> e' l'ultima riga, abbiamo finito. Altrimenti continuiamo il procedimento.
* Una volta ottenuta una matrice a scala, ripetiamo il procedimento all'indietro per ottenere le soluzioni.
 
Come potete notare, il procedimento e' molto simile a quello dell'eliminazione di Gauss. Ma un esempio dovrebbe chiarire molto meglio il l'algoritmo.
 
:'' '''Esempio 1''' Consideriamo il seguente sistema lineare
:<math>\left\{ \begin{array}{cccccc}2x_1 & -x_2 & +4x_3 & +x_4 & = & -2 \\-2x_1 & +x_2 & -7x_3 & +x_4 & = & -1 \\4x_1 & -2x_2 & +5x_3 & +4x_4 & = & -7\end{array}\right.</math>
: e la sua matrice associata
:<math>A = \left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\-2 & 1 & -7 & 1 \\4 & -2 & 5 & 4\end{array}\right)</math> <math>c = \left(\begin{array}{c}-2 \\-1 \\-7\end{array}\right)</math>
 
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