Sistemi lineari

Lezione 5: Tecniche di calcolo dei sistemi lineari

Un sistema lineare è di m equazioni in n incognite del tipo

$\left\{{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots +a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots +a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots +a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\end{matrix}}\right.$

abbiamo già visto che possiamo provare a risolvere utilizzando il metodo di sostituzione oppure l'Algoritmo di Gauss nel caso il sistema sia quadrato, cioè $m=n$. Vediamo ora dei metodi più efficaci per risolvere un qualunque sistema lineare.

Riduzione a Scala e Algoritmo di Gauss-Jordan

Definizione: Una matrice si dice a scala se è siffatta

$\left({\begin{array}{cccccccccc}0&\cdots &0&p_{1}&\cdots &&\cdots &&\cdots &*\\0&\cdots &\cdots &0&\cdots &p_{2}&\cdots &&\cdots &*\\\vdots &&&\vdots &&\vdots &&&&\vdots \\0&\cdots &&\cdots &&0&\cdots &p_{r}&\cdots &*\\0&\cdots &&\cdots &&0&\cdots &&&0\\0&\cdots &&\cdots &&0&\cdots &&&0\end{array}}\right)$

Gli * indicano che può esserci qualsiasi cosa e i $p_{i}\in \mathbb {R} ^{*},q\leq i\leq r$ (quindi tutti non nulli) sono gli $r$ pivot della matrice a scala.

Il sistema lineare associato si dice sistema a scala.

La matrice a scala ed il Metodo di Gauss-Jordan non è altro che la generalizzazione di quello che avevamo visto brevemente per le matrici quadrate. Prima di studiarne le proprietà teoriche, vediamo come funziona e facciamo qualche esempio pratico per fissare le idee.

Come anticipato prima, il metodo di Gauss-Jordan è molto simile all'eliminazione di Gauss per le matrici quadrate, cioè è un metodo che tramite operazioni elementari (quali lo scambio di righe, combinazioni lineari, ecc...) trasforma una matrice qualsiasi $A\in M_{m,n}(\mathbb {R} )$ in una matrice a scala $S\in M_{m,n}(\mathbb {R} )$ e di conseguenza trasforma il generico sistema $Ax=b$ in un sistema a scala equivalente $Sx=c$.