Serie di funzioni: differenze tra le versioni
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{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> di funzioni integrabili in <math>I\,\!</math> converge uniformemente, allora la serie è integrabile in <math>I\,\!</math>, e vale:<br />
<div align="center"><math>\int_{a}^{b} \sum_{k=1}^{\infty}f_k(x)\, dx=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b} f_k(x)\, dx</math></
}}
E quindi, si dice che la serie può essere integrata termine a termine.
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{{riquadro|border=1px solid blue|contenuto=
Se la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> di funzioni derivabili in <math>I\,\!</math> converge in <math>I\,\!</math>, e la serie derivata <math>\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math> converge uniformemente in <math>I\,\!</math>, allora la serie <math>\sum_{k=1}^{\infty}f_k</math> è derivabile in <math>I\,\!</math>, e vale:<br />
<div align="center"><math>\left(\sum_{k=1}^{\infty}f_k\right)'=\sum_{k=1}^{\infty}f'_k</math></
}}
E quindi, si dice che la serie può essere derivata termine a termine.
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I primi due * sono banalmente dimostrabili.
*
<math>\Rightarrow)\,\!</math> Sia <math>x\,\!</math> tale che <math>|x|<\rho\,\!</math>. Allora, per la proprietà dell'estremo superiore, esiste un <math>\xi \in X</math> tale che <math>|x|<\xi\le \rho\,\!</math>. E quindi, per il teorema precedente, la serie converge in <math>x\,\!</math>.<br />
Se, per assurdo, la serie convergesse in un qualche punto <math>\xi\,\!</math> tale che <math>|\xi|>\rho\,\!</math>, allora, per il teorema precedente, la serie convergerebbe, in particolare, in ogni <math>x \in [\rho,|\xi|[</math>, che contraddice il fatto che <math>\rho=\sup X\,\!</math>, da cui l'assurdo.
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===Esempi===
*La serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}x^k</math> è, come è noto, la serie geometrica di ragione <math>x\,\!</math>, che converge se <math>|x|<1\,\!</math>, e diverge se <math>|x|>1\,\!</math>. Quindi il raggio di convergenza della serie è <math>1\,\!</math>. Tuttavia, per <math>x=1\,\!</math>, la serie diverge positivamente, mentre per <math>x=-1\,\!</math>, la serie non è regolare, e quindi <math>X=]-1,1[\,\!</math>.
*La serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k^2}</math> ha raggio di convergenza <math>1\,\!</math>, e la serie converge sia per <math>x=1\,\!</math> (la serie armonica con <math>p>1\,\!</math>), sia per <math>x=-1\,\!</math> (criterio di Leibniz), quindi <math>X=[-1,1]\,\!</math>.
*La serie <math>\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k}</math> ha raggio di convergenza <math>1\,\!</math>, e la serie converge per <math>x=-1\,\!</math> (criterio di Leibniz), ma non per <math>x=1\,\!</math> (serie armonica con <math>p\le 1\,\!</math>), quindi <math>X=[-1,1[\,\!</math>.
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