Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale: differenze tra le versioni

:<math>f(x)\in I_{\lambda_1}\cap I_{\lambda_2},\ \forall x \in H_1\cap H_2 \cap A\setminus \{x_0\}</math>

e questo è impossibile, perché <math>x_0</math> è un punto di accumulazione e quindi <math>A\setminus \{x_0\} \cap H_1 \cap H_2 \neq \emptyset</math> anche <math>I_{\lambda_1}\cap I_{\lambda_2}\neq \emptyset</math>, contraddicendo l'ipotesi che erano disgiunti. Dunque si ha per forza che

 

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Pertanto

{{endproof}}

 

:<math>\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda}\exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) \in L,\ \forall x \in \left(A\setminus \{x_0\} \right)\cap H</math>.

Ma <math>B\subseteq A</math> e dunque la definizione sopra vale a maggior ragione per <math>B</math>, dal momento che vale per ogni <math>x \in A</math> escluso <math>x_0</math> e <math>B \subseteq A</math>. In definitiva

e dunque

{{endproof}}

 

Allora, esiste il limite di <math>f(x)</math> per <math>x \to x_0</math> ed è <math>\lambda</math> se e solo se, per ogni successione in <math>A \setminus \{x_0\}</math> convergente a <math>x_0</math>, <math>f(x_n) \to \lambda</math>.<br />

Formalizzando:

}}

=====Dimostrazione=====

Siccome <math>(x_n)</math> è una successione in <math>a \setminus \{x_0\}</math>, ogni <math>x_n</math> appartiene ad <math>a \setminus \{x_0\}</math>. Inoltre, ogni <math>x_n</math> con <math>n > m</math> appartiene anche a <math>H</math> intorno di <math>x_0</math>, perché la successione converge ad <math>x_0</math> per ipotesi.<br />

Mettendo insieme le cose, <math>f(x_n) \in L,\ \forall n > m</math>. In definitiva:

 

<math>\Leftarrow )</math> . Supponiamo ora che <math>\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=\lambda</math> per ogni successione <math>(x_n) \in A\setminus \{x_0\}</math> convergente ad <math>x_0</math>.<br />