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Riga 58: : <math>\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & -3 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\-3\end{array}\right) </math> : cioè abbiamo ~~sostiuito~~sostituito la riga <math>R_2</math> con <math>R_2 + R_1</math> e la riga <math>R_3</math> con <math>R_3 -2 R_1</math>. La sostituzione comprende anche la colonna dei termini noti. : Ripetiamo il procedimento passando alla colonna (e riga) successive, notando che la seconda riga ha un termine non nullo (nella colonna 3). Poniamo allora <math>p_2 = -3</math> e ripetiamo il procedimento di prima. Questa volta abbiamo <math> R_3 + \frac{3}{-3} R_1 = R_3 - R_1</math> che ci da' la matrice Riga 71: : Risolviamolo all'indietro, cioè ripetiamo l'algoritmo di Gauss-Jordan stavolta partendo dal basso: : abbiamo la matrice <math>S=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 4 & 1 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) c=\left(\begin{array}{c}-2 \\-3 \\0\end{array}\right) </math> e partiamo da basso prendendo come pivot il primo valore da destra non nullo, cioè <math>2=p_{r1}</math> e, di nuovo, ~~sostiuiamo~~sostituiamo alla prima riga di <math>S</math> e di <math>S</math> la combinazione lineare ottenuta come avevamo fatto prima, cioè <math>R_1 = R_1 -\frac{1}{2} R_2</math> ottenendo la matrice : <math>S=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & \frac{11}{2} & 0 \\0 & 0 & -3 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) c=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2} \\-3 \\0\end{array}\right) </math>. : Abbiamo ora terminato l'algoritmo di Gauss e procediamo a risolvere il sistema lineare equivalente ottenuto. Risolviamo allora il sistema:

Sistemi lineari: differenze tra le versioni