Materia:Meccanica quantistica: differenze tra le versioni
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==Concetti fondamentali==
== Indice ==▼
=== Funzione d'onda ===
Lo stato di un sistema quantistico è descritto da una '''funzione d'onda''' (complessa) <math>\Psi(q,t)</math>, il quadrato del modulo della quale dà la distribuzione di probabilità delle coordinate <math>q</math> del sistema all'istante <math>t</math>.
=== Autovalori e autofunzioni ===
Consideriamo una grandezza fisica <math>f</math> caratteristica di un sistema quantistico. Gli '''autovalori''' della grandezza <math>f</math> sono i valori <math>f_n</math> che la grandezza può assumere, e le '''autofunzioni''' <math>\Psi_n</math> sono le funzioni d'onda degli stati in cui <math>f=f_n</math>.
=== Operatori ===
Gli autovalori e le autofunzioni di una grandezza <math>f</math> sono determinati dall'equazione
:<math>\hat f\Psi=f \Psi</math>
dove <math>\hat f</math> è l''''operatore''' associato alla grandezza.
Il valore medio di <math>f</math>, nello stato descritto dalla funzione d'onda
<math>\Psi</math>, è
:<math><f>=\int \Psi^*\hat f\Psi\, dq</math>
=== Spettro discreto ===
Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza <math>f</math> con uno spettro discreto:
:<math>\Psi=\sum a_n \Psi_n \qquad a_n=\int \Psi_n^*\Psi\, dq</math>
=== Spettro continuo ===
Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza <math>f</math> con uno spettro continuo:
:<math>\Psi(q)=\int a_f \Psi_f(q)\,df \qquad a_f=\int \Psi_f^*(q)\Psi(q)\, dq</math>
=== Operatore impulso ===
Operatore dell'impulso di una particella:
:<math>\hat \mathbf{p}=-i\hbar \nabla</math>
Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:
:<math>[\hat{p}_i,x_j]=-i\hbar \delta_{ij}</math>
Relazioni di indeterminazione:
:<math>\Delta p_i \Delta x_i \sim \hbar</math>
Il valore minimo dell'indeterminazione è <math>\hbar/2</math>, e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.
=== Operatore hamiltoniano ===
Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:
:<math>\hat \mathcal{H}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}</math>
Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i '''livelli energetici''' <math>\mathcal{E}_n</math>. A questi valori corrispondono gli '''stati stazionari''' del sistema.
Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:
:<math>\Psi_n(q,t)=\exp
\left(-\frac{i}{\hbar}\mathcal{E}_n t\right)\psi_n(q)</math>
Lo '''stato fondamentale''' corrisponde al valore minimo <math>\mathcal{E}_0</math> dell'energia che il sistema può assumere.
A un '''livello degenere''' corrispondono diversi stati stazionari.
Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.
=== Matrici ===
Gli elementi di matrice di una grandezza <math>f</math>
sono definiti dallo sviluppo delle funzioni <math>\hat f \psi_n</math>
secondo le autofunzioni dell'energia:
:<math>f_{mn}=\int \psi_m^* \hat{f}\psi_n\,dq</math>
Gli elementi diagonali <math>f_{nn}</math> sono i valori medi della grandezza
<math>f</math> negli stati <math>\psi_n</math>
Elementi di matrice dipendenti dal tempo:
:<math>f_{mn}(t)=f_{mn}e^{i\omega_{mn}t}, \qquad
\omega_{mn}= \frac{\mathcal{E} _m-\mathcal{E} _n}{\hbar}</math>
# [[Momento angolare]]
# [[Equazione di Schrödinger]]
# [[Teoria delle perturbazioni]]
# [[Atomi]]
# [[Molecole biatomiche]]
[[Categoria:Materie|Fisica quantistica]]
[[Categoria:Corso di Fisica|Quantistica]]
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