Esistenza del limite per funzioni reali di variabile reale: differenze tra le versioni

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==Esistenza del limite==

=====Dimostrazione=====

Sia <math>\lambda</math> il limite di <math>f(x)</math>. Sempre per la definizione di limite, abbiamo

Ma <math>B\subseteq A</math> e dunque la definizione sopra vale a maggior ragione per <math>B</math>, dal momento che vale per ogni <math>x \in A</math> escluso <math>x_0</math> e <math>B \subseteq A</math>. In definitiva

<center><math>\forall L \in \mathcal{I}_{\lambda}\exists H \in \mathcal{I}_{x_0}\ :\ f(x) \in L,\ \forall x \in \left(B\setminus \{x_0\} \right)\cap H</math></center>

<math>\Rightarrow )</math> . Supponiamo <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=\lambda</math> e consideriamo <math>(x_n)\to x_0</math> una successione convergente a <math>x_0</math> in <math>A \setminus \{x_0\}</math>.<br />

Confrontiamo ora le due definizioni, quella di limite di funzione e di limite di una successione:

:<math>\forall L' \in \mathcal{I}_{x_0} \exists m \in \mathbb{N}\ :\ x_n \in L',\ \forall n \in \mathbb{N}, n > m</math>

 

<math>\Leftarrow )</math> . Supponiamo ora che <math>\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=\lambda</math> per ogni successione <math>(x_n) \in A\setminus \{x_0\}</math> convergente ad <math>x_0</math>.<br />

Per assurdo, supponiamo che se si ha l'ipotesi, non accade che <math>\lim_{x \to x_0}f(x)=\lambda</math>. Allora, negando la definizione di limite, otteniamo:

cioè, per ogni intervallo di <math>x_0</math>, esiste almeno un <math>x \in \left(A\setminus \{x_0\}\right)</math> intersecato questo intervallo per cui si ha che <math>f(x)\not\in L</math>, per un qualche <math>L</math> intervallo del limite.<br />

Poniamo allora

 

{{ip}}

[[Categoria:Matematica]]