Il formalismo della meccanica quantistica: differenze tra le versioni
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==Spazio delle funzioni d'onda==
Nelle lezioni precedenti si è puntualizzato il fatto che lo stato di una particella in meccanica quantistica è descritto da una funzione d'onda <math>\psi (\mathbf{r} , t)</math>, e che il suo modulo al quadrato, <math>| \psi (\mathbf{r} , t) | ^{2}</math>, rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella nell'elemento di volume <math>d^{3}r</math> al tempo <math>t</math>. Ne consegue che lo spazio delle funzioni d'onda dev'essere un sottoinsieme di <math>L^2</math>. Infatti, la probabilità di trovare la particella nello spazio dev'essere uguale a 1 e dunque deve risultare:
<math>\int | \psi (\mathbf{r} , t) | ^{2} d^3r = 1</math>
intendendo come dominio di integrazione tutto lo spazio. Tale sottospazio di <math>L^2</math> viene indicato con <math>\mathfrak{F}</math> e costituisce uno spazio vettoriale. Date due funzioni d'onda <math>\psi_1 (\mathbf{r})</math> e <math>\psi_2 (\mathbf{r})</math> di <math>\mathfrak{F}</math> è definito il loro prodotto scalare:
<math>(\phi_1 , \phi_2 ) = \int {\phi_1^*}(\mathbf{r}) \phi_2(\mathbf{r}) d^3r</math>
dove con <math> {\phi_1^*} </math> si intende il complesso coniugato di <math>{\phi_1}</math>.
Tale prodotto scalare gode di alcune semplici proprietà. Innanzitutto:
<math>(\phi_1 , \phi_2 ) = (\phi_2 , \phi_1 )^*</math>
Si può facilmente dimostrare che il prodotto scalare in <math>\mathfrak{F}</math> è una forma sesquilineare, ovvero lineare rispetto al primo argomento e antilineare rispetto al secondo argomento. Il prodotto scalare in <math>\mathfrak{F}</math> induce la norma:
<math> \sqrt{(\phi, \phi)} = \sqrt{\int |\phi^2(\mathbf{r})| d^3r} </math>
che è evidentemente un numero reale, non negativo.
Due vettori di <math>\mathfrak{F}</math> sono detti ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo.
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