Insiemi, proposizioni e predicati: differenze tra le versioni

Il primo approccio alla logica deve seguire la teoria naive degli insiemi. Senza bisogno di definizioni e formalismi, tutti posseggono un' idea di cosa sia un insieme: si può parlare dell'insieme dei numeri naturali, e dell'insieme dei numeri pari, così come dell'insieme dei medici italiani. Qualcuno fa parte dell'insieme dei medici, qualcuno non ne fa parte; qualcuno ne fa parte dell'insieme dei medici, ma non merita di farne parte. Queste sottigliezze, però, non esistono in matematica: ogni insieme è chiaramente e completamente definito senza ambiguità. Infatti non ci sono dubbi, per chi conosce la materia, su quali elementi appartengano o meno all'insieme dei numeri naturali: 1 vi appartiene, 162345 vi appartiene, -5 non vi appartiene, Garibaldi non vi appartiene. Già, perché la matematica non si limita a trattare solo i numeri. Attraverso l'insiemistica può definire categorie, cioè insiemi, per qualsiasi elemento. Si potrebbe quindi parlare dell'insieme degli attori di teatro, dell'insieme dei giorni della settimana, etcetera. A questo livello, tutto quello che ci si domanda è: «Quali elementi appartengono a questo insieme?»

 

Ma la vera potenzialità dei predicati sta nell'utilizzo dei quantificatori. Questi sono due, il quantificatore universale <math>\forall</math> e il quantificatore esistenziale <math>\exists</math>. Il primo, come tutti gli altri simboli che si usano in matematica, è l'abbreviazione di un concetto: al posto di dire «Per ogni elemento x, <math>\neg x \in A</math>» (nel significato che se preso un qualsiasi elemento x, è vera la proposizione che segue) scriveremo «<math>\forall x (\neg x \in A)</math>».

Allo stesso modo anche il quantificatore esistenziale è un'abbreviazione. L'idea è che esiste almeno un elemento che rende vera la proposizione che segue il quantificatore: ad esempio «<math>\exists x(x \in B)</math>» significa che esiste almeno un elemento che rende vera la proposizione (cioè che appartiene a B).