Esercitazione 1: Dinamica della macchina a un grado di libertà: differenze tra le versioni
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In questa esercitazione analizzeremo a fondo le possibilità dinamiche di moto di un veicolo semplice lungo una direzione.
__TOC__
== Descrizione del veicolo ==
[[Immagine:Simple car model with engine, transmissions and wheels.JPG|thumb|400px]]
Consideriamo un modello semplificato di automobile composto da una scocca rigida e quattro ruote di raggio R e momento d'inerzia baricentrico J<sub>R</sub>, di cui le due posteriori sono motrici mentre le anteriori sono libere (o ''condotte''). Le due ruote motrici sono collegate al motore M tramite due trasmissioni T<sub>1</sub> e T<sub>2</sub> (di tipo cinematico, ovvero che trasmettono il moto senza variare il rapporto di trasmissione). Tra le due trasmissioni è interposto un volano J<sub>T</sub>, che rappresenta l'inerzia delle due trasmissioni. Le trasmissioni hanno rapporti di trasmissione τ<sub>1</sub> e τ<sub>2</sub> e rendimenti diretti e retrogradi η<sub>1d</sub>, η<sub>1r</sub> e η<sub>2d</sub>, η<sub>2r</sub>. A lato motore invece è presente un altro volano di inerzia J<sub>M</sub>. Il motore, in dipendenza della velocità di rotazione dell'albero, ha una curva di coppia:
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L'auto ha una massa totale M<sub>a</sub> (che comprende anche le quattro ruote) e il baricentro in G. La superficie frontale è invece S<sub>a</sub> e ha un coefficiente aerodinamico C<sub>x</sub>.
== Caso 1: moto orizzontale, a regime ==
'''Quesito:''' Determinare la velocità del veicolo in funzionamento a regime, con l'auto in avanzamento.
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vediamo che è necessario individuare tutte le forze agenti sul corpo. Tuttavia, vista la potenza come il prodotto scalare di forza e velocità, possiamo trascurare tutte le forze che agiscono in punti a velocità nulla o con velocità perpendicolare alla direzione di azione della forza.
=== Individuazione delle forze esterne ===
[[File:External forces on a simple car model.jpg|400px|thumb|Diagramma delle forze esterne agenti sul veicolo]]
Si individuano dunque:
* ''forza peso'': è trascurabile per il computo delle potenze
* ''attrito volvente'': noto il coefficiente d'attrito volvente <math>f_v</math>, l'attrito volvente si può identificare sotto forma di una coppia frenante applicata sull'asse di rotazione della ruota. Questa coppia vale come il prodotto vettoriale della reazione normale al terreno N per la distanza ''u'' della forza normale dall'asse della ruota. La distanza ''u'' dipende dal prodotto di raggio e coefficiente di attrito volvente:
:<math>u = f_v \cdot R</math>
* ''forza aerodinamica frontale'': la forza di resistenza aerodinamica frontale F<sub>RA</sub> dipende da superficie frontale S, coefficiente di resistenza aerodinamica C<sub>x</sub>, densità del fluido (aria) ρ e velocità al quadrato:
:<math>F_{RA} = \frac{1}{2} \rho S v^2 C_x</math>
* ''forza di attrito statico'' e ''reazione normale'' ruote-strada: anche la forza di attrito statico e la reazione normale nel punto di contatto tra ruote e strada si può trascurare, questa volta
Possiamo quindi scrivere:
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:<math>\frac{dE_c}{dt} = 0</math>, la derivata dell'energia cinetica è nulla in quanto nel moto a regime la velocità è costante e perciò l'energia cinetica <math>E_c = \frac{1}{2} m v^2</math> non varia.
=== Determinazione del tipo di moto: diretto o retrogrado ===
A questo punto è necessario definire il termine di potenza persa, per scrivere il quale è necessario prima capire se per ognuna delle due trasmissioni la trasmissione di potenza sia diretta (la potenza si trasferisce da motore a utilizzatore) o, viceversa, retrograda (da utilizzatore a motore), così da usare in un caso o nell'altro il rendimento delle trasmissioni in funzionamento diretto η<sub>d</sub>, oppure retrogrado η<sub>r</sub>.
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:<math>W + W^{in} = \frac{dE_c}{dt} = 0</math>
==== Bilancio a lato utilizzatore ====
Andiamo dunque ad effettuare un bilancio a lato utilizzatore, ovvero considerando tutti i contributi di potenza entrante e uscente agenti sull'albero lato utilizzatore della trasmissione. Come convenzione, scegliamo come positiva la potenza W<sub>2</sub> trasmessa dal sistema utilizzatore alla trasmissione (in pratica stiamo dichiarando positivo il verso di trasmissione della potenza utilizzatore --> trasmissione).
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Diversamente, se la potenza W<sub>2</sub> risultasse ''negativa'', allora avremo un flusso di potenza ''dalla trasmissione all'utilizzatore'' (e di conseguenza ''dal motore alla trasmissione''), perciò potremo dire che il sistema ha un tipo di moto ''diretto''
Nel caso del veicolo analizzato in questo esercizio, il bilancio risulta:
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Perciò è evidente in questo caso che la potenza W<sub>2</sub> sia ''negativa'', in quanto entrambi i contributi che la compongono, secondo il bilancio, risultano negativi. '''Il moto è diretto'''.
==== Bilancio al lato motore ====
In questo caso il bilancio a lato motore, da compiere considerando le potenze sull'albero lato motore della trasmissione, non è sufficiente per stabilire lo stato di moto del sistema e risulta perciò superfluo. Questo
Volendo esplicitare comunque il bilancio, consideriamo - per convenzione, come prima - positiva la potenza W<sub>1</sub> trasmessa nella direzione che va dal motore alla trasmissione.<ref>La convenzione qui usata è comune a quella usata in precedenza in quanto condivide il fatto che la potenza scambiata con la trasmissione è considerata sempre positiva quando uscente. Positiva quando esce dal motore come viene atrettanto considerata positiva quando esce dall'utilizzatore</ref>
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W<sub>1</sub> risulterebbe positivo ( = moto diretto) se la coppia del motore erogasse potenza (in questo caso il vettore coppia motore sarebbe parallelo e equiverso a quello della velocità) mentre risulterebbe negativo se fungesse da freno motore ( = moto retrogrado) e assorbisse potenza (in questo altro caso il vettore coppia frenante sarebbe parallelo e di verso contrario a quello della velocità).
== Note ==
<references />
[[Categoria:Esercitazioni|Dinamica della macchina a un grado di libertà]]
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