Serie di funzioni: differenze tra le versioni

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====Dimostrazione====
<math>\rho\le\rho')\,\!</math> Supponiamo che la serie di potenze di coefficienti <math>(a_n)_{n \in \N_0}\,\!</math> converga in <math>x_0\,\!</math>. Da ciò segue che la successione <math>(a_nx_0^n)_{n \in \N}\,\!</math> converge a zero, e quindi la successione è limitata, ossia <math>\exists L>0 : |a_nx_0^n|\le L \forall n \in \N_0</math>. Allora, <math>\forall |x|<|x_0|, \forall n \in \N_0</math>:<br />
<math>|(n+1)a_{n+1}x^n|=(n+1)\frac{|a_{n+1}x_0^n|}{|x_0^n|}|x^n|=(n+1)\frac{|a_{n+1}x_0^{n+1}|}{|x_0|}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n\le \frac{L}{|x_0|}\left|\frac{x}{x_0}\right|^n</math>.<br />
La serie di termine generale <math>|x/x_0|^n\,\!</math> è la serie geometrica di ragione strettamente minore di 1, e quindi convergente. Da ciò segue che la serie di potenze di coefficienti <math>((n+1)a_{n+1})_{n \in \N_0}\,\!</math>, ossia la serie derivata, converge in ogni punto <math>|x|<|x_0|\,\!</math>, da cui segue che <math>\rho\le\rho'\,\!</math>.