Analisi della tensione: differenze tra le versioni

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{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Scienza delle costruzioni}}
 
Dato il vettore della tensione <math>\mathbf{t_n}</math>, è naturalmente possibile dedurne le componenti secondo qualsiasi terna di assi cartesiani ortogonali presi come sistema di riferimento:
 
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In essa la prima riga rappresenta le componenti rispetto ai tre assi della tensione considerata agente sul piano di normale 1, ed ugualmente le altre due righe per le altre direzioni. Gli elementi della diagonale principale rappresentano le tensioni normali dei tre piani. I pedici stanno ad indicare il primo la normale al piano in cui si intende applicata la tensione, il secondo la direzione in cui la componente agisce.
 
== Valutazione della tensione lungo una direzione generica ==
{{Todo|Inserire immagine del tetraedro di Cauchy come http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cauchy_tetrahedron.svg ma con nomenclatura coerente con il testo}}
 
Si consideri il ''tetraedro di Cauchy'', cioè un tetraedro nell'intorno del punto <math>P</math> considerato avente tre facce secondo le direzioni del sistema di riferimento prescelto e la quarta di normale generica <math>\mathbf{n}</math>. Su di esso agiscono le forze di volume <math>\mathbf{Y}</math>, scomponibili lungo i tre assi del sistema di riferimento a dare <math>\mathbf{Y_1}\;\mathbf{Y_2}\;\mathbf{Y_3}\;</math>, e le forze interne <math>\mathbf{t_1dA_1}\;\mathbf{t_2dA_2}\;\mathbf{t_3dA_3}\;\mathbf{t_ndA}</math>. Per l'equilibrio nella generica direzione ''j'' deve essere:
 
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In definitiva, data l'arbitrarietà con cui si è scelta la direzione <math>\mathbf{n}</math>, note le componenti di tensione secondo tre direzioni ortogonali è possibile conoscere lo stato di tensione lungo qualsiasi direzione.
 
== Le equazioni indefinite di equilibrio ==
{{Todo|Inserire immagine esplicativa di quanto detto nel testo}}
 
Così come nello studio della deformazione si sono fatte delle considerazioni per garantire la ''congruenza'' della stessa, per le tensioni si rende necessario fare delle considerazioni analoghe, ma in termini di equilibrio. Perché sia garantito l'equilibrio nel punto <math>P</math> considerato, infatti, è necessario che le componenti della tensione soddisfino alcune equazioni dette '''equazioni indefinite di equilibrio''', che si riferiscono all'intorno del punto considerato, e che sono l'applicazione degli stessi principi di equilibrio propri dei corpi estesi.
 
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Facendo l'equilibrio alla traslazione secondo la generica direzione <math>k</math>, ricordando che il secondo indice delle componenti ne identifica la direzione, avremo:
 
<math>\sum_{i=1}^3 [- \sigma_{ik} dA_i + \sigma '_{ik} dA_i ]+ Y_k dV =0 \to \sum_{i=1}^3 [- \sigma_{ik} dA_i + (\sigma_{ik}+\frac{\delta \sigma_{ik}}{\delta y_i}dy_i) dA_i ]+ Y_k dV =0 \to \sum_{i=1}^3\frac{\delta \sigma_{ik}}{\delta y_i}dy_i dA_i+ Y_k dV =0</math>
 
Per cui le '''equazioni indefinite di equilibrio''' possono essere così sintetizzate:
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Ulteriore distinzione va fatta per le parti di frontiera libere, in cui <math>\mathbf{p}=0</math>, e quelle vincolate, in cui l'azione ha un valore generalmente diverso da zero.
 
== Tensioni e direzioni principali ==
 
Come per la deformazione, in maniera del tutto equivalente dal punto di vista formale, è possibile definire anche per la tensione quelle che sono definite le '''tensioni''' e le '''direzioni principali'''. Allo stesso modo, infatti, si definiscono gli autovalori ed autovettori del tensore di tensione <math>T</math> e se ne definiscono gli invarianti lineare, quadratico e cubico. Allo stesso modo, poi, è possibile decomporre il suddetto tensore in una componente sferica ed una deviatorica.
 
Inviluppando le direzioni principali interne ad un generico corpo soggetto ad una generica combinazione di carichi si possono individuare tre famiglie di linee, di cui quelle relative alle tensioni massima e minima vengono solitamente chiamate '''isostatiche di trazione''' e '''compressione'''. La particolarità di queste direzioni, le quali sono naturalmente funzione delle modalità con cui il corpo stesso è sottoposto a forze, è che lungo esse la materia è impegnata esclusivamente con sforzi normali di compressione e di trazione. L'assenza di sforzi tangenziali lungo queste direzioni è un fatto molto positivo per l'economia del sistema, dal momento che in generale la materia è in grado di resistere meglio ad azioni normali rispetto a quanto non faccia con azioni tangenziali. D'altronde esistono esempi in natura di tessuti organici le cui fibre resistenti sono pressoché coincidenti con le isostatiche, motivo per cui sono in grado di accompagnare ad un peso ridotto un'elevata resistenza agli sforzi.
 
== Note ==
 
<references/>