Analisi cinematica di sistemi di travi piane: differenze tra le versioni

{{Risorsa|tipo=lezione|materia1=Scienza delle costruzioni}}

Per poter efficacemente studiare la trave piana definita in precedenza, è necessario considerare i '''vincoli''' a cui essa è sottoposta. Dando per scontato che una trattazione più approfondita sui vincoli sia stata svolta nella [[Materia:Meccanica razionale|meccanica razionale]], nonché ne sia stata data la definizione, si ritiene comunque opportuno richiamare alcuni concetti che si rendono necessari alla trattazione, ma che saranno comunque solo presentati.

 

! rowspan="3" | '''Vincoli semplici'''

| [[Immagine:Carrello.svg|50px]] || Carrello ||

| Deve appartenere alla retta descritta dall'asse del vincolo

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| [[Immagine:Statica pendolo.svg|50px]] || Pendolo o biella ||

| Deve appartenere alla retta descritta dall'asse del vincolo

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| [[Immagine:Statica doppiodoppiopendolo.svg|50px]] || Doppio doppio pendolo ||

| Deve essere un punto improprio

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! rowspan="2" | '''Vincoli doppi'''

| [[Immagine:Cerniera.svg|100px]] [[Immagine:Middle hinge.svg|50px]] || Cerniera ||

| È il punto in cui è ubicato il vincolo

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| È il punto improprio appartenente alla retta descritta dall'asse del vincolo

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! '''Vincoli tripli'''

| Non esiste

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Prima di procedere a qualsiasi tipo di analisi della trave o del sistema di travi, è necessario fare alcune valutazioni sui vincoli a cui è sottoposta. Si definisce '''grado di vincolo''' della trave o del sistema di travi il numero di vincoli semplici in cui i vincoli possono essere scomposti. Per comprendere quanto detto bisogna considerare che ogni vincolo doppio può essere scomposto in due vincoli semplici, e il vincolo triplo in tre vincoli semplici. Ad esempio:

 

Il grado di vincolo, dunque, può essere facilmente calcolato tenendo a mente la distinzione tra vincoli semplici, doppi e tripli. Esso rappresenta le componenti di spostamento che l'insieme dei vincoli applicati sono '''potenzialmente''' in grado di sopprimere.

 

Noto che un qualsiasi corpo esteso (e quindi anche una trave) nel piano ha 3 gradi di libertà, detto <math>g</math> il grado di vincolo della trave, possono accadere le seguenti situazioni:

 

 

In precedenza si sono utilizzati termini come ''potenzialmente'' e ''potrebbero'', i quali non sono stati inseriti in maniera casuale: la condizione che sia <math>g \ge 3</math>, infatti, è una condizione '''necessaria ma non sufficiente''' affinché vengano eliminate tutte le possibili componenti di spostamento. Può accadere, infatti, che i vincoli si rivelino '''inefficaci''', e cioè non in grado di eliminare completamente qualsiasi possibile movimento della trave o del sistema di travi. Per comprendere meglio quanto detto giova fare un esempio.

 

[[Immagine:Carrello orizzontale sx.svg|100px]][[Immagine:Carrello orizzontale passante.svg|100px]][[Immagine:Carrello orizzontale dx.svg|100px]]

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Si consideri ad esempio una trave singola vincolata per mezzo di tre carrelli disposti in posizione generica ma aventi gli assi disposti parallelamente. Dal momento che ci sono tre carrelli, i quali sono vincoli semplici, il grado di vincolo sarà <math>g=3</math>, uguale ai gradi di libertà posseduti dalla trave. Tuttavia appare intuitivo che la trave vincolata in questo modo può scorrere nella direzione perpendicolare agli assi dei vincoli, dal momento che nessuno dei vincoli cui è sottoposta è in grado di sopprimere quel grado di libertà. La trave, dunque, è '''a vincoli inefficaci'''.

 

 

Una '''catena cinematica''' è una generica configurazione di un sistema ad un grado di libertà. Perché sia possibile costruire una catena cinematica è necessario che in un sistema di travi si verifichi almeno una delle seguenti condizioni:

 

Il non rispetto di nessuna di queste condizioni è condizione '''necessaria e sufficiente''' perché il sistema in analisi non rappresenti una catena cinematica, e che dunque non esistano componenti di spostamento non nulli. Nel caso della trave singola una simile imposizione può essere descritta come la necessità che non esistano centri di rotazione assoluti.

Una volta dimostrata l'efficacia dei vincoli, è possibile affermare che una trave isostatica a vincoli efficaci è ''staticamente determinata'', e cioè esiste un unico insieme di valori delle reazioni vincolari in grado di garantire l'equilibrio. Una trave iperstatica, al contrario, possiede un numero di reazioni vincolari ignote (uguale al grado di vincolo) maggiore delle equazioni di equilibrio disponibili (che sono 3).

 

Un caso particolare, che potrebbe sfuggire all'attenzione, è rappresentato dalle maglie chiuse.

 

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Si consideri un sistema di travi piane che costituisca una maglia chiusa, e cioè che sia disposta in modo da realizzare un percorso chiuso, ad esempio un quadrato. Si consideri, inoltre, che tale sistema di travi sia sottoposta ad un insieme di vincoli esterni tale da rendere il tutto ''esternamente'' isostatico a vincoli efficaci, ad esempio inserendo tre carrelli i cui assi non convergano in nessun punto in comune.

 

{| cellspacing="0" cellpadding="0"

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Per dimostrare che il sistema precedente è labile si considerino i centri di rotazione. Il centro di rotazione assoluto del tronco a destra deve appartenere contemporaneamente agli assi dei due carrelli che insistono su quel tronco, e dunque è l'angolo inferiore destro del quadrato originario. Il centro di rotazione relativo tra i due tronchi è definito univocamente dalla cerniera che li collega, e in particolare è esattamente il punto in cui è disposta la cerniera stessa. Il centro di rotazione assoluto del tronco di sinistra ha come unica condizione necessaria l'appartenenza alla retta verticale passante per il carrello che vincola tale tronco; quindi il centro di rotazione assoluto del tronco di sinistra può essere l'angolo inferiore sinistro del quadrato.

 

}}

 

 

Questa situazione si presenta in qualsiasi caso in cui esista una maglia chiusa.

 

Non ci si lasci ingannare dal fatto che nell'esempio si è agito sempre in corrispondenza del punto <math>P</math>: si può giungere esattamente alle stesse conclusioni effettuando le sconnessioni in punti sempre diversi del sistema. A questo proposito vale la pena considerare un caso particolare: si consideri di effettuare le tre sconnessioni necessarie in tre punti differenti <math>P_1P_2P_3</math> appartenenti allo stesso lato del quadrato, ad esempio inserendo una cerniera in ognuno di questi punti. Questi tre punti rappresentano i centri di rotazione relativi dei tre tronchi che si sono costituiti per effetto delle sconnessioni, essendo appartenenti al medesimo lato sono allineati, e per il secondo dei principi delle catene cinematiche precedentemente esposti formano effettivamente una catena cinematica.

 

{| cellspacing="0" cellpadding="0" align="center"

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Considerando la parte labile, si osserva che è possibile identificare univocamente la configurazione assunta da questa parte di struttura per mezzo di un unico parametro, rappresentato dalla coordinata del punto <math>P_2</math>. Il ''grado di labilità'' <math>l</math>, cioè, è pari a 1. Sulla parte iperstatica si è già detto che è necessaria una sola sconnessione per renderla isostatica, per cui il ''grado di iperstaticità'' <math>i</math> è anch'esso pari a 1. Dal momento che esistono 3 vincoli esterni semplici e 3 vincoli interni doppi il grado di vincolo complessivo della struttura è <math>g=(3\cdot 1+3\cdot 2)=9</math>. I gradi di libertà complessivi dei singoli tronchi prima di essere vincolati, dal momento che ne sono 3 e ognuno di essi ha 3 gradi di libertà, è pari a <math>gdl=3\cdot 3=9</math>.

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[[Immagine:Carrello orizzontale sx.svg|75px]][[Immagine:Carrello orizzontale passante.svg|75px]][[Immagine:Carrello orizzontale dx.svg|75px]]

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A questo proposito è opportuno riconsiderare il caso della trave con tre carrelli paralleli. In questo caso appare ovvio che <math>gdl-g=0</math>, ma si è anche detto che la disposizione dei vincoli è inefficace. In particolare si osserva che per identificare la configurazione assunta dal sistema è necessario un solo parametro, rappresentato dalla posizione di un punto generico rispetto alla direzione dell'asse della trave, per cui <math>l=1</math>. Il grado di iperstaticità, dunque, sarà <math>i=1</math>, e si osserva che esso è concentrato nella direzione ortogonale all'asse della trave: se si elimina uno dei carrelli, cioè, il sistema è ancora impedito di muoversi in quella direzione.

 

L'iperstaticità e la labilità, cioè, possono concentrarsi anche in una data direzione di spostamento.

 

Un altro aspetto importante di cui tenere conto a proposito dei vincoli è la loro imperfezione, che è un aspetto completamente differente dalla loro efficacia. Un vincolo si dice '''perfetto''' quando è in grado di eliminare completamente gli spostamenti o lo spostamento ad esso relativo e non ha alcuna influenza sugli altri. In pratica, facendo un esempio, un carrello è perfetto quando elimina completamente la componente di spostamento perpendicolare al suo asse di scorrimento e non influenza minimamente la traslazione nell'altra direzione e la rotazione.

 

Il cedimento del vincolo è esattamente la traslazione o la rotazione del punto vincolato nonostante la presenza del vincolo stesso. Se l'entità di questo spostamento è indipendente dalla reazione del vincolo considerato il cedimento è detto '''anelastico''', mentre in caso contrario è chiamato '''elastico'''.

 

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