Dinamica del corpo rigido: differenze tra le versioni
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Consideriamo un asse di rotazione: i punti percorrono durante la rotazione una traiettoria circolare con velocità <math>v_i = \omega R_i\,\!</math>. La proiezione del momento angolare sull'asse di rotazione risulta così <math>L_i = m_i r_i v_i = m_i r_i R_i \omega \,\!</math>.
=== Momento angolare ===
La somma dei momenti angolari è data da
<math>L_z = \sum_i L_{iz} = (\sum_i m_i R_i^2) \omega = I_z \omega</math>
La quantità <math>
Quello che possiamo notare è che la componente del momento angolare lungo l'asse di rotazione dipende dalla forma del corpo, cioè dalla posizione dei singoli punti rispetto all'asse di rotazione ed un coefficiente che è proprio di ogni corpo.
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<math>\vec M = I_z \vec \alpha</math>
Possiamo fare un paragone con la nota formula <math>\vec F=m \vec a</math> e possiamo notare che, mentre la massa inerziale è la misura dell'opposizione del corpo alla modifica del suo stato di moto, il momento d'inerzia è l'opposizione del corpo allo stato di rotazione. La differenza fondamentale è che mentre la massa è una quantità definita del corpo, il momento d'inerzia dipende dalla scelta dell'asse di rotazione.
=== Momento d'inerzia ===
Abbiamo detto che il ''momento d'inerzia dipende dalla forma del corpo'' e dalla posizione dell'asse di rotazione. Il calcolo viene effettuato dalla seguente formula dove <math>I=\int R^2 dm=\int \rho R^2 dV</math> e quindi il momento d'inerzia è la somma di tutti i momenti d'inerzia rispetto al medesimo asse.
Solo per un esempio calcoliamo il momento d'inerzia di un'asta sottile omogenea.
Detto <math>S\,\!</math> la sezione dell'asta, <math>d\,\!</math> la lunghezza dell'asta e <math>dx\,\!</math> la distanza dal centro con <math>dm=\rho S dx \,\!</math> abbiamo che <math> I_z = \int_{-d/2}^{d/2} x^2 dm = \rho S \int_{-d/2}^{d/2} x^2 dx = \frac{1}{12} \rho S d^3 = \frac{1}{12} m d^2</math>
== Energia cinetica ==
Calcoliamo ora l'energia cinetica del corpo rigido che risulta uguale a
<math>E_k=\sum_i \frac{1}{2}m_i v_i^2=\sum_i \frac{1}{2}m_i R_i^2 \omega^2</math>
e vale sempre che il lavoro è uguale alla variazione di energia cinetica ovvero <math>W=\Delta E_k</math>
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