Definizione alternativa: Probabilità col metodo frequenzista
Un'altra definizione è quella che usa la probabilità relativa, il rapporto
Si può osservare che anche questa definizione soddisfa tutti e tre gli assiomi di Kolomogorov. Il problema è che, in genere, non è possibile ripetere un esperimento per un numero infinito di volte; inoltre, il limite potrebbe non esistere.
Definizione alternativa: Probabilità col metodo classico
Per far sì che esista sempre un risultato, si può definire la probabilità come
cioè, il rapporto tra il numero di possibili risultati favorevoli (la cardinalità di ) e la cardinalità di . Anche in questo caso, sono rispettati gli assiomi di Kolmogorov.
un insieme discreto, con cardinalità finita o infinita numerabile. In tal caso, si può scegliere come -algebra la collezione delle parti
Un evento è definito come
dove gli sono gli eventi elementari e disgiunti:
)
Allora, la probabilità viene definita come
Per caratterizzare in modo completo uno spazio di probabilità discreto è sufficiente, quindi, calcolare soltanto le probabilità dei singoli elementi di ,
Esempio:
Il lancio della moneta.
Spazio campione
Insieme delle parti
Con e che indicano se esce testa o croce. Scrivendo questa definizione del problema, abbiamo usato l'approccio classico
Questo approccio non funziona se si ha a che fare con monete truccate.
Se la probabilità dei singoli eventi non è uniforme, allora il metodo classico introduce un errore.
Esempio:
Il lancio di due monete.
Spazio campione
La probabilità che esca al primo lancio è .
Esempio:
Il lancio di un dado.
Spazio campione
Tra queste , quali sono -algebre? soltanto .
Esempio:
Dati e ed una -algebra , , si definisce lo spazio di probabilità . Quanto vale ?
Se è un insieme continuo, la sua dimensione è infinita non numerabile. In questo caso, l'insieme delle parti è troppo ricco per poter definire una misura di probabilità sul suo contenuto.
Le successioni di insiemi possono essere
decrescenti (rispetto alla relazione di inclusione), cioè
In generale è più semplice definire una misura di sottoinsiemi di e poi estenderla alla -algebra . Nel caso continuo, si procede definendo la misura di sottoinsiemi di appartenenti ad un'algebra tale che possa essere generata.
Consideriamo . Sia un'algebra di tale che . Allora, si può definire una premisura
in modo tale che gli insiemi siano
sono disgiunti a coppie e
Allora, la misura dell'algebra è
Teorema: Teorema di unicità della misura
La misura
è unica, sotto l'ipotesi che sia -finita, ossia che esista una sequenza di insiemi
Esempio: La funzione di densità di probabilità gaussiana
La funzione di densità di probabilità gaussiana è definita dall'equazione
Esempio: La funzione di densità di probabilità uniforme
La funzione di densità di probabilità uniforme è definita dall'equazione
Definizione: Spazio di Borel su
Lo spazio di Borel
con
è la più piccola -algebra su che contiene insiemi del tipo
Analogamente al caso monodimensionale, si può definire una misura di probabilità assegnando un'opportuna densità di probabilità
integrabile e tale per cui
con
Il metodo visto si applica anche ai seguenti casi:
con . In tal caso
, con
con e
Esempio: La roulette
Vogliamo calcolare la probabilità che la pallina cada in un quadrante piuttosto che in un altro. Ipotizziamo che la probabilità che la pallina cada su un numero sia uguale per tutti i numeri; in questo caso ha una densità di probabilità uniforme. Definiamo lo spazio di probabilità come:
Si definiscono i casi:
Si ha:
Notare, dall'ultima soluzione, che la probabilità di un singolo punto è sempre nulla.
Esercizio: Luca e Giorgio
Due amici, Luca e Giorgio, si danno appuntamento al bar tra le 8 e le 8:30; i due arrivano al bar in modo casuale ed indipendente.
Definire lo spazio di probabilità;
Calcolare la probabilità che Luca arrivi prima di Giorgio;
Sapendo che arrivati al bar si fermano per un tempo pari a minuti e minuti, calcolare la probabilità che si incontrino.