Soluzione degli esercizi sul metodo di Newton

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Esercizio 1

• Ecco una possibile implementazione del metodo di Newton con Octave/MATLAB:

function [x e iter]=newton(f,df,x0,err,itermax)
%The function newton find the zeros of function
%with the Newton algorithm.
%It returns the zero x, the error e, and the number of iteration needed iter
%
%HOW TO USE IT:
%Example
%>>f=@(x)x.^2-1;
%>>df=@(x)2*x;
%>>err=1e-5; itermax=1000;
%>>[x e iter]=newton(f,df,err,itermax);

iter=0;
e=2*err;
x=x0;
while ( e > err )
	iter = iter + 1;
	e = abs(f(x)./df(x));	
	x=x-f(x)./df(x)
	if(iter == itermax)
		break;
	end
end

Esercizio 2

Si consideri la successione generata dal metodo di Newton

$\displaystyle x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}$

e si supponga esista $\displaystyle z$ unico zero della funzione. Allora abbiamo tre casi:

1. $\displaystyle x_{0}=z$

   In questo caso ovviamente la successione converge in quanto si ha che

   $\displaystyle x_{k}=z\qquad \forall k\geq 0.$

2. $\displaystyle x_{0}>z$

   Notiamo che se $\displaystyle x_{k}>z$ allora $\displaystyle f(x_{k})>0$ e dalla definizione del metodo di Newton si ottiene

   $\displaystyle x_{k+1}-x_{k}=-{\frac {f(x_{k})}{f'{x_{k}}}}<0,\quad \implies x_{k+1}<x_{k},$

   ovvero la successione è decrescente. Dalla formula per l'errore se vede invece che

   $z-x_{k+1}=-{\frac {f''(\eta _{k})}{2f'(x_{k})}}(z-x_{k})^{2}<0\quad \implies z<x_{k+1}.$

   Quindi la successione degli $\displaystyle x_{k}$ è decrescente e limitata, ovvero esiste finito il suo limite

   $\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=\alpha .$

   Dalla definizione del metodo di Newton si ha che $\displaystyle f(\alpha )=0$ e quindi per l'unicità dello zero si ha che $\displaystyle \alpha =z$.

3. $\displaystyle x_{0}<z$

   Procedendo come per il punto precedente, essendo ora $\displaystyle f(x_{0})<0$, si ha che

   $\displaystyle x_{1}-x_{0}=-{\frac {f(x_{0})}{f'{x_{0}}}}>0,\quad \implies x_{1}>x_{0},$

   Tuttavia abbiamo anche che

   $z-x_{1}=-{\frac {f''(\eta _{0})}{2f'(x_{0})}}(z-x_{0})^{2}<0\quad \implies z<x_{1}.$

   Quindi scelto $\displaystyle x_{0}<z$ si ha che $\displaystyle x_{1}>z$ e quindi la successione converge per quanto mostrato nel punto precedente ( prendendo $\displaystyle {\bar {x}}_{0}=x_{1}$).