Sistemi multipli di correlazione

Sulla necessità dei sistemi multipli

In un circuito di correlazione, indirizzato alla misura del ritardo di interdipendenza $\tau *$ tra due segnali $f1(t)\ e\ f2(t)$, possono verificarsi due diversi casi operativi:

• Se il rapporto $si/ni$ è elevato, il valore della varianza $Nux$ non perturba il segnale $Sux$, si può quindi ridurre la costante d’integrazione $RC$ al fine di rendere più reattivo il correlatore per poter trovare velocemente il valore di $\tau *$.

• Se il rapporto $si/ni$ è invece molto piccolo , il valore della varianza $Nux$ perturba il segnale $Sux$, si deve quindi aumentare la costante d’integrazione $RC$ al fine di poter trovare molto lentamente, il valore di $\tau *$.

Da questo secondo caso nasce la necessità dell’impiego dei correlatori multipli, ciascuno impostato con valori di $\tau *$ diversi l’uno dall'altro, in modo tale che esplorandone l'uscita velocemente e in successione si possa trovare quello che presentando la $Sux$ più marcata che ci consenta un rilievo veloce di $\tau *$.

I correlatori multipli, in via di principio, sono derivabili dai correlatori digitali che abbiamo esaminato in precedenza.

Il circuito base di partenza è quello che impiega la funzione logica exclusive or data la sua semplice ed economica struttura.

Struttura di un sistema multiplo di correlazione digitale

Il sistema di correlazione multiplo è un insieme di N correlatori digitali ciascuno predisposto per rilevare la funzione di correlazione incrociata $C(\tau -\tau *)x,1,2$. per un ben determinato valore di $\tau *$ fisso ed immutabile.

Ciascuno degli N correlatori è dotato della propria unità di integrazione, calcolata uguale per tutti.

Tutti gli N correlatori hanno in comune un'unica unità di ritardo.

L'uscita degli N correlatori è scandita velocemente nel tempo da un apposito commutatore elettronico che serializza gli N valori di $C(\tau -\tau *)x,1,2$ in modo da consentirne la visualizzazione su di un oscilloscopio opportunamente sincronizzato.

Lo schema a blocchi di un sistema multiplo e riportato in figura 1:

figura 1

Nello schema si osserva che la grandezza del tempo $f2(t)$ è applicata, tramite un limitatore e la cellula di campionamento (CC), all'ingresso della catena di ritardo digitale unica che la presenta agli N moltiplicatori digitali rispettivamente ritardata di valori di $\tau$ indicati come $0ra;\ ;\ 1ra\ ;\ 2ra\ ;\ 3ra\ ;4ra\ ;\ ....(n-1)ra.$

La seconda grandezza del tempo $f1(t)$ è applicata, tramite un limitatore e la cellula di campionamento (CC), simultaneamente a tutti gli altri ingressi dei moltiplicatori digitali.

Non è presente il blocco di compensazione dato che è previsto il ritardo $0ra$

All'uscita di ciascun moltiplicatore è collegato il rispettivo circuito integratore; tutti gli integratori sono dimensionati per la stessa frequenza di taglio $Ft.$

I segnali in uscita dagli N integratori; che rappresentano rispettivamente le N funzioni di correlazione:

$C(\tau =0ra)x1,2$

$C(\tau =1ra)x1,2$

$C(\tau =2ra)x1,2$

.

.

.

$C[\tau =(n-1)ra]x1,2$

sono applicati ad un commutatore elettronico che consente di ottenere all'uscita gli N valori delle $C(\tau -\tau *)x,1,2$ in forma serializzata, ciascuno per un tempo costante da definire.

Il comando del serializzatore perviene da una base di tempi esterna opportunamente predisposta.

Un esempio

Per rendere più chiaro il funzionamento del sistema di correlazione multiplo supponiamo di misurare la funzione di correlazione incrociata tra $f1(t)\ e\ f2(t)$ nell'ipotesi che entrambe siano definite in una banda di frequenze comprese tra $0\ e\ F1$ e che abbiano il massimo grado di interdipendenza per un ritardo $\tau *$ pari a $16ra.$

In questo caso l'uscita del serializzatore si presenterà, su di un oscilloscopio opportunamente sincronizzato, come mostrato in figura 2:

figura 2

dove le $C(\tau -\tau *)x,1,2$ sono presentate ciascuna per un piccolo intervallo di tempo, ad esempio $to=1\ ms$, all'uscita di un correlatore, nell'ordine:

la $C(\tau =0ra)x1,2\ \ \ \$ da $0\ a\ 1\ ms$

la $C(\tau =1ra)x1,2\ \ \ \$ da $1\ ms\ a\ 2\ ms$

la $C(\tau =2ra)x1,2\ \ \ \$ da $2\ ms\ a\ 3\ ms$

la $C(\tau =3ra)x1,2\ \ \ \$ da $3\ ms\ a\ 4\ ms$

la $C(\tau =4ra)x1,2\ \ \ \$ da $4\ ms\ a\ 5\ ms$

e di seguito le altre.

E' evidente dalla figura 2 che con questo sistema si può misurare istantaneamente, visualizzandola, la funzione di correlazione incrociata tra $f1(t)\ ed\ f2(t)$ che presenterà il suo massimo per $\tau =16ra$.

Dato inoltre che l'azione del serializzatore è ciclica l'immagine di $C(\tau -\tau *)x1,2$ resta fissa sullo schermo dell' oscilloscopio.

In questo caso se $f1(t)\ e\ f2(t)$ hanno carattere stazionario gli integratori di uscita possono assestarsi al valore che compete alla $C(\tau -\tau *)x1,2$ del singolo canale con il valore di varianza prescelto.

Con questo dispositivo si elaborano N punti della funzione di correlazione incrociata mediante N canali di correlazione indipendenti, ciascuno preposto al calcolo di $C(\tau -\tau *)x1,2$ per un ben determinato valore di ritardo in modo tale che, con una relativa indipendenza da $Ft,$ si possa ottenere con immediatezza la rappresentazione della correlazione incrociata tra $fl(t)\ e\ f2(t)$ per tutti i valori voluti di $ra.$

Se si desidera una maggiore definizione della funzione di correlazione incrociata si può ridurre il valore elementare di $ra$ in modo che i valori misurati di $C(\tau -\tau *)x1,2$ siano più vicini tra loro; se si desidera esplorare un più ampio campo di valori di ritardo è necessario aumentare il numero dei canali di correlazione e la lunghezza della catena di ritardo digitale.

Definizione delle variabili per i sistemi multipli di correlazione

Per impostare un sistema multiplo di correlazione devono essere fissate le variabili che ne costituiscono le caratteristiche fondamentali:

• Le prime due variabili da definire sono il ritardo totale da esplorare e il più piccolo passo del ritardo $ra$ con il quale si vuole analizzare la $C(\tau -\tau *)x1,2.$

• La terza si riferisce al più piccolo valore del rapporto $si/ni$ che si prevede debba essere elaborato dal sistema.

• La quarta è relativa l'entità massima della varianza che si può accettare all'uscita del sistema.

• La quinta riguarda il tempo di esplorazione delle N uscite dei correlatori.

Di seguito un esempio numerico aiuterà il progettista ad impostare un sistema multiplo del tipo descritto.

Esempio d'impostazione di un sistema di correlazione multiplo

Si considerino due grandezze del tempo $f1(t)\ e\ f2(t)$ contenute in una banda di frequenze compresa fra $0\ e\ 10000\ Hz.$

Calcolo dei ritardi della catena digitale

Supponiamo che $f1(t)\ e\ f2(t)$ siano generate da un'unica sorgente e che $f1(t)$ sia ritardata di $\tau *=20\ \mu s$ rispetto a $f2(t)$ ; il massimo della $C(\tau -\tau *)x1,2$ si evidenzierà pertanto per $\tau =20\ \mu s$ e la funzione di correlazione incrociata dovrà essere definita, per simmetria, tra $\tau =0\ e\ \tau =20\ \mu s$ a sinistra del massimo e tra $\tau =20\ \mu s\ e\ \tau =40\ \mu s$ a destra del massimo per un intervallo totale di $40\ \mu s.$

In questo intervallo sarà ragionevole ricavare almeno $20$ valori di $C(\tau -\tau *)x1,2;$ ciò vuol dire che la catena di ritardo digitale dovrà avere $20$ passi da $ra=2\ \mu s$ ciascuno.

Ciò implica, evidentemente, che anche il numero delle unità di correlazione sia di $N=20$.

Calcolo della costante di tempo RC

Supponiamo ora che il minimo rapporto $si/ni$ dei segnali di ingresso sia dell'ordine di -$9\ dB.$

Se vogliamo, ad esempio, che la $C(\tau -\tau *)x1,2,$ con $Val.=15\ V,$ sia sempre rivelabile sopra la varianza, questa, per quanto già spiegato nelle lezioni precedenti, dovrà essere contenuta entro circa $70\ mVeff.$

Per ottenere un valore di varianza di questa entità ,con $Val.=15\ V,$ il valore di $RC$ dovrà essere calcolato come segue :

da $Nux$ secondo la 1) si calcola $RC$

$Nux=\left[{\frac {15}{\pi \cdot {\sqrt {(6/7)\cdot 4\cdot RC\cdot (10000\ Hz)}}}}\right]=70\ mVeff\ \ \ \$ 1)

si ha : $RC=0.13\ s$

Calcolo del tempo di scansione $Te$ delle $N=20$ unità di correlazione

Per il calcolo di $Te$ si computa inizialmente il valore di $Ft$

$Ft=1/(2\cdot \pi \cdot RC)=1.2\ Hz$

quindi, nel rispetto del teorema sulla campionatura, in base a $Ft,$ fissiamo infine il tempo $Te$ di esplorazione delle uscite dei $20$ correlatori in

$Te\approx 1/(3\cdot Ft\cdot N)=13.9\ ms$.

Misure di laboratorio

Nelle figure 3 e 4 due interessanti immagini di $C(\tau -\tau *)x1,2$ rilevate in laboratorio su di un correlatore multiplo:

figura 3 Immagine oscilloscopica di $C(\tau -\tau *)x1,2,$ realizzata in laboratorio per $si/ni=1/2.5$

figura 4 Immagine oscilloscopica dell'algoritmo di correlazione $C(\tau -\tau *)x1,2,$ realizzata in laboratorio per $si/ni=0$.

Bibliografia

• Cesare Del Turco, La correlazione , Collana scientifica ed. Moderna La Spezia,1993