Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici

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Risoluzione di equazioni non lineari con metodi numerici

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L'obiettivo di questa lezione è imparare strumenti che ci permettano di calcolare con metodi numerici le soluzioni di un'equazione non lineare di tipo $f(x)=0\,\!$.

Supponiamo esista $\alpha \in \mathbb {R}$ tale che $\displaystyle f(\alpha )=0$. Vogliamo costruire una successione $\displaystyle x_{k}$, con $k\in \mathbb {N}$, tale che

$\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=\alpha$

Il numero $\displaystyle \alpha$ è detto radice (della funzione $\displaystyle f$).

Convergenza

Se la successione definita dal metodo numerico converge, possiamo allora chiederci quanto converga velocemente. A questo scopo si definisce l'ordine di convergenza di una successione:

Definizione (Ordine di convergenza). Una successione $x_{k}$ converge ad $\alpha$ con ordine $p\geq 1$ se

$|x_{k+1}-\alpha |\leq C|x_{k}-\alpha |^{p},\quad \forall k>0,$

$\displaystyle p$ è l'ordine di convergenza del metodo numerico che ha generato la successione $\displaystyle x_{k}$. Se $\displaystyle p=1$, il metodo converge linearmente e la costante $\displaystyle C$ è detta fattore di convergenza.

La quantità

$\displaystyle e_{k+1}\equiv |x_{k+1}-\alpha |$

costituisce l'errore commesso al passo $\displaystyle k$. In generale, con un metodo numerico, non vorremo fare infinite iterazioni e cercheremo solo un'approssimazione ${\bar {\alpha }}$ del valore $\alpha$. In particolare, potremo definire una tolleranza $\displaystyle \epsilon$ tale che se $|x_{k}-\alpha |\leq \epsilon$ allora ${\bar {\alpha }}=x_{k}$.

Esempio

Supponiamo che la successione $\displaystyle x_{k}$ converga ad $\displaystyle \alpha$ con ordine 2, dove la costante $\displaystyle C=1$, e supponiamo che l'errore iniziale $\displaystyle e_{0}=|x_{0}-\alpha |=0.1$. Consideriamo un tolleranza $\epsilon =10^{-10}$, allora il metodo numerico convergerà al più in quattro iterazioni, ovvero ${\bar {\alpha }}=x_{4}$, infatti:

$e_{0}=|x_{0}-\alpha |\leq 10^{-1}$

$e_{1}=|x_{1}-\alpha |\leq 10^{-2}$

$e_{2}=|x_{2}-\alpha |\leq 10^{-4}$

$e_{3}=|x_{3}-\alpha |\leq 10^{-8}$

$e_{4}=|x_{4}-\alpha |\leq 10^{-16}$