Ripasso di termodinamica

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Introduzione

La termodinamica è quella branca della fisica e della chimica (chimica fisica) che descrive le trasformazioni subite da un sistema in seguito a processi che coinvolgono la trasformazione di massa ed energia. Trasformazioni operate nel nostro caso proprio dalle macchine e turbomacchine di cui ci occuperemo.

Principi della termodinamica

Rivediamo in breve i principi della termodinamica, per poi approfondire:

• Il principio zero della termodinamica dice semplicemente che se un corpo "A" è in equilibrio termico con un corpo "B" e "B" è in equilibrio termico con un corpo "C", allora "A" e "C" sono in equilibrio tra loro.
• Il primo principio dice che la variazione dell'energia interna di un sistema termodinamico chiuso è uguale alla differenza tra il calore fornito al sistema e il lavoro compiuto dal sistema sull'ambiente: $\Delta U=Q-L$
• Il secondo principio afferma che è impossibile realizzare una macchina ciclica che abbia come unico risultato il trasferimento di calore da un corpo freddo a uno caldo (enunciato di Clausius) o, equivalentemente, che è impossibile realizzare una trasformazione il cui risultato sia solamente quello di convertire in lavoro meccanico il calore prelevato da un'unica sorgente (ovvero che un'efficienza del 100% è impossibile da ottenere) (enunciato di Kelvin). Di conseguenza l'entropia totale di un sistema isolato rimane invariata quando si svolge una trasformazione reversibile, mentre essa aumenta quando si svolge una trasformazione irreversibile. Tutte le trasformazioni reali sono irreversibili.
• Infine il terzo principio afferma che è impossibile raggiungere la temperatura dello zero assoluto con un numero finito di trasformazioni.

I principi di maggiore interesse per noi sono il primo ed il secondo.

Comportamento dei fluidi

I fluidi che andremo a prendere in considerazione sono liquidi (da noi considerati sempre completamente incomprimibili) e gas (considerati a seconda della situazione come comprimibili o meno).

Tutte le considerazioni sui gas utilizzeranno le ipotesi di gas ideale e a calori specifici costanti (ipotesi vicina alla realtà solo in limitati range di temperatura e pressione), perché ben approssimano il comportamento dei gas reali, semplificandone però la trattazione.

I gas perfetti sono caratterizzati dalla relazione fondamentale:

$pv=RT$

dove p è la pressione, espressa in Pa, v è il volume specifico in m3/kg, R è la costante specifica del gas e T è la temperatura espressa in Kelvin.

e dai calori specifici Cp (a pressione costante) e Cv (a volume costante).

Per i liquidi utilizzeremo ancora valori costanti per i calori specifici (indipendenti da temperatura e pressione, ipotesi queta molto vicina alla realtà).

Primo principio e definizioni fondamentali

Il primo principio è preferibile enunciarlo nella forma differenziale:

$dU=\delta Q-\delta W$

ovvero, in un sistema chiuso la variazione infinitesima di energia interna dU (che è un differenziale esatto, in quanto il suo integrale esprime una variazione finita di una funzione di stato quale è l'energia interna) è uguale alla differenza di calore entrante dall'esterno δQ e lavoro svolto dal sistema sull'esterno δW (entrambi differenziali non esatti). L'equazione rimane valida se integrata lungo una qualunque trasformazione.

Convenzione che utilizzeremo normalmente

I segni positivi o negativi di Q e W dipendono dalle convenzioni scelte, che sono arbitrarie ma che è fondamentale indicare ogni volta.

Per un ciclo termodinamico il principio prende la forma:

$\oint (\delta Q-\delta W)=0$

difatti al termine di ogni ciclo lo stato del fluido ritorna nello stato di partenza e di conseguenza l'energia interna (che ricordiamo è una funzione di stato) complessivamente non varia.

Energia interna

L'energia interna U è una funzione di stato, ovvero non dipende dalla trasformazione termodinamica precedente all'equilibrio ma solo dallo stato in cui il sistema si trova nel dato istante. Essa è funzione della temperatura: $U=f(T)$.

Per i gas:

$\Delta U=nc_{v}\Delta T$

Per i liquidi:

$\Delta U=nc_{l}\Delta T$

Lavoro

Per un gas il lavoro è quello svolto da esso verso l'esterno nell'espandersi, oppure effettuato su di esso (dall'esterno) per comprimerlo:

$L=-\int _{1}^{2}pdV$

è presente il segno negativo perché, secondo la convenzione scelta, all'espansione (aumento di volume: $\Delta V$ positivo) corrisponde un lavoro "uscente" (l negativo).

In un processo irreversibile tuttavia il lavoro può essere scomposto in lavoro meccanico di compressione/espansione e lavoro dissipato l_w (dissipato in attriti ed effetti viscosi, quindi degradatosi a calore):

$dl=-pdv+l_{w}$

Si ottiene così una più generale definizione del primo principio:

$\delta q+\delta l_{w}=du+pdv$

Entalpia

L'entalpia H è una grandezza così definita:

$H=U+pV$

L'entalpia è anch'essa una funzione di stato e dipende dalla temperatura: $H=f(T)$

$\Delta H=c_{p}\Delta T$

Secondo principio ed entropia

Il secondo principio è strettamente legato al concetto di entropia, difatti lo si può enunciare anche in questo modo: in un sistema isolato l'entropia è una funzione non decrescente nel tempo:

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} t}}\geq 0$

Entropia

L'entropia S (anch'essa funzione di stato: $S=f(T)$), spesso definita come misura del disordine di un sistema, formalmente si scrive in forma differenziale come:

${\rm {d}}S={\frac {\delta Q_{rev}}{T}}$

per un processo reversibile. Dove $\delta Q$ è il calore scambiato dal sistema e T è la temperatura assoluta delle sorgenti.

Il termine dQ/T può avere valore sia positivo che negativo: se viene trasferito del calore al sistema e la sua temperatura aumenta, allora aumenta anche la sua entropia. Se invece il sistema cede calore e la sua temperatura diminuisce, il sistema diminuisce la propria entropia.

Mentre per un processo irreversibile (ovvero reale) vale:

${\rm {d}}S={\frac {\delta Q_{rev}}{T}}+{\frac {\delta L_{irr}}{T}}$

dove il termine dQ/T può avere valore sia positivo che negativo, mentre il termine dLw/T è necessariamente positivo (ed è proprio questo termine, sempre presente in un processo reale, a produrre l'aumento di entropia dell'universo).

Disuguaglianza di Clausius

La disuguaglianza di Clausius afferma che in un processo ciclico vale la relazione:

$\oint {\frac {\delta Q}{T}}\leq 0$

L'uguaglianza vale solo nel caso di un trasformazione reversibile, mentre per qualunque processo irreversibile vale il segno $<$. Questo perché in un processo irreversibile il dS è necessariamente composto anche da un termine positivo di entropia generata dalle irreversibilità (attriti, effetti viscosi etc.)

Equazioni del T dS

Combinando le relazioni del primo principio e la definizione di entropia si ottiene un'utile relazione (detta prima equazione del Tds)

$Tds=du+pdv$

Similmente si può combinare la definizione di entalpia, differenziata, con quella di entropia ottenendo questa seconda relazione:

$Tds=dh-vdp$

Queste relazioni valgono per qualunque trasformazione.

Rendimento

Esistono diversi e numerosi tipi di rendimento, di cui presentiamo i principali.

Ricordiamo che il rendimento di due macchine in serie è dato dal prodotto dei rendimenti delle due macchine

Rendimento termodinamico

Il rendimento termodinamico viene definito come il rapporto tra il lavoro prodotto dal sistema e il calore ad esso fornito (assorbito):

$\eta ={\frac {L}{|Q_{ass}|}}={\frac {|Q_{ass}|-|Q_{ced}|}{|Q_{ass}|}}=1-{\frac {|Q_{ced}|}{|Q_{ass}|}}$

Per un ciclo ideale tra due temperature T1 e T2 (ciclo di Carnot), il massimo rendimento possibile è dato da:

$\eta ={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}$

Rendimento generale

Il rendimento generale (overall efficiency) di una macchina vale:

$\eta _{0}={\frac {\mbox{effetto utile}}{\mbox{energia disponibile/fornita}}}$

perciò per una macchina motrice (ad es. turbina) il rendimento generale vale:

$\eta _{T}={\frac {\mbox{energia meccanica disponibile all'albero d'uscita della macchina nell'unità di tempo}}{\mbox{massimo salto energetico disponibile per il fluido nell'unità di tempo}}}$

mentre per una macchina operatrice (pompa, compressore, ventilatore):

$\eta _{P}={\frac {\mbox{salto energetico prodotto nel fluido nell'unità di tempo}}{\mbox{lavoro fornito all'albero d'ingresso della macchina nell'unità di tempo}}}$

Rendimento isoentropico

Diverso è invece il rendimento isoentropico che definisce quanto una trasformazione adiabatica di compressione o di espansione si avvicini al caso ideale di trasformazione isoentropica, cioè reversibile:

• Per un processo di espansione è definito dal rapporto fra il lavoro reale ottenuto e quello ideale ottenibile dall'isoentropica:

$\eta _{is\ espans}={\frac {L_{reale}}{L_{ideale}}}\qquad L_{reale}<L_{ideale}$

• Per un processo di compressione è il rapporto fra il lavoro ideale necessario (cioè minimo) e quello realmente necessario:

$\eta _{is\ compress}={\frac {L_{ideale}}{L_{reale}}}\qquad L_{reale}>L_{ideale}$

Rendimento meccanico

Di conseguenza definiamo il rendimento meccanico, che rappresenta solo la porzione di irreversibilità dovuta ai componenti meccanici (tra il rotore e l'albero esterno di trasmissione):

$\eta _{m}={\frac {\eta _{0}}{\eta _{is}}}$

Valori utili

• Aria secca
  • densità ρ ≅ 1,2 kg/m³
  • R_aria = 287,05 J/(kg K)
  • c_p = 1004 J/(kg K)
  • Rapporto γ = c_p/c_v = 1,4

• Acqua
  • densità ρ = 1000 kg/m³
  • c_l = 4186 J/(kg K)