Reticoli
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Le caratteristiche traslazionali delle strutture [per es. Fig. 3(a,b,c)] sono rappresentate dall'insieme di punti ottenuto sostituendo ciascun motivo con un punto. Nella Fig. 4, è rappresentato il reticolo corrispondente alla struttura (a).
Un reticolo bidimensionale è definito univocamente dalla coppia di vettori non collineari a e b. Infatti si definisce reticolo bidimensionale semplice di punti, l'insieme dei punti estremità dei vettori
- t = ma + nb (4.1)
spiccati da un'origine O, con a e b non collineari e m ed n numeri interi positivi, negativi o nulli.
Si definisce cella elementare il parallelogramma costruito sulla coppia di vettori a, b. Occorre precisare che i vettori a e b possono essere scelti in infiniti modi diversi: nella Fig. 4 sono indicate tre possibili scelte della coppia di vettori a e b; per ciascuna scelta è possibile, mediante la (1), ricostruire il reticolo R(I). Le tre celle corrispondenti alle tre possibili scelte della coppia di vettori base hanno la stessa area. Tali celle hanno punti reticolari solo ai vertici: sono definite celle semplici. È talora conveniente scegliere vettori di riferimento a, b che individuano celle multiple, aventi punti reticolari non solo ai vertici ma anche all'interno della cella. Nel caso del reticolo illustrato nella Fig. 5 i vettori a, b definiscono una cella doppia. La cella individuata dai vettori a', b' è invece una cella semplice. È opportuno osservare che l'area della cella costruita sui vettori a, b è doppia di quella della cella costruita sui vettori a' e b'. La sua introduzione è giustificata dal fatto che essa indica immediatamente, con l'ortogonalità dei due vettori, la particolare simmetria del corrispondente reticolo.
Abbiamo visto in precedenza come la struttura (a) sia riportata in sé da operazioni di traslazione, mentre le strutture (b) e (c) sono riportate in sé da operazioni di rotazione propria e da riflessioni, rispettivamente: ciò si traduce nel dire che tali strutture, (b) e (c), possiedono, oltre alla simmetria traslazionale, anche simmetria rotazionale (propria e impropria, rispettivamente). Lo studio delle proprietà di simmetria di oggetti finiti o infiniti (come le strutture in esame) è semplificato dalla introduzione di alcune nozioni di teoria dei gruppi: tale teoria ci fornisce la terminologia ed il quadro matematico per lo studio della simmetria.