Raccolta di problemi nella storia della matematica finanziaria

Di seguito è riportata una raccolta di alcuni problemi di matematica finanziaria risolti nel corso dei secoli, utile per avere una visione delle diverse metodologie operative usate.

Problema babilonese del 1700 a.C.

Il seguente problema si trova in una tavola babilonese del 1700 a.C., conservata presso la collezione del Louvre; già all'epoca venivano risolti problemi sul calcolo dell'interesse:

Quanto tempo occorre perché una certa somma di moneta si raddoppi con un interesse annuo composto del 20%?

Il problema si risolve in questo modo (considerando somma di moneta = $1\$):

somma di moneta a fine del 1º anno: $1+(1\cdot \ 0,2)=1\cdot \ (1+0,2)=1,2$

somma di moneta a fine del 2º anno: $1,2+(1,2\cdot \ 0,2)=1,2\cdot \ (1+0,2)=1,2\cdot \ 1,2=1,44$

somma di moneta a fine del 3º anno: $1,44+(1,44\cdot \ 0,2)=1,44\cdot \ (1+0,2)=1,44\cdot \ 1,2=1,728$

somma di moneta a fine del 4º anno: $1,728+(1,728\cdot \ 0,2)=1,728\cdot \ (1+0,2)=1,728\cdot \ 1,2=2,0736$

Mediante interpolazione lineare si ha:

$2,0736-1,7280=0,3456\$

$2,000-1,7280=0,2720\$

$3+(2720/3456)=3,78\$ anni

Utilizzando invece le attuali tavole dei logaritmi, o quelle dell'interesse composto, si ha:

$(1,2)^{n}=2\$ ossia $nlog1,2=log2\$

da cui: $n=log2/log1,2=3,802\$ anni

che elimina l'errore dovuto all'interpolazione lineare.

Problemi tratti dal Liber Abbaci

Fino al 1200 circa d.C. la matematica non subì un'evoluzione significativa; i problemi finanziari venivano risolti per approssimazione a causa della grossolanità degli strumenti aritmetici allora conosciuti e al fatto che il sistema di numerazione romano, in uso per molti secoli in Occidente, era del tutto inadeguato a rappresentare i numeri ed eseguire calcoli di una certa complessità.

Fibonacci nel Liber Abbaci (1202) raccolse tutta la matematica nota fino a quel tempo esponendola attraverso dimostrazioni rigorose. Favorì uno sviluppo dell'Algebra giunta attraverso gli Arabi, introducendo il sistema di numerazione posizionale degli Indiani, che semplificò il calcolo aritmetico consentendone una maggiore diffusione; questo portò di conseguenza ad un rinnovamento delle Scuole d'abaco e a sistemi più sofisticati di matematica finanziaria e perciò ad una migliore organizzazione del commercio.

Il seguente problema è uno dei più famosi contenuti nel Liber Abbaci, riguardante l'ammortamento di un prestito. In italiano moderno si può scrivere in questo modo:

“Un tale presta 100 libre al tasso mensile di 4 denari per libra. Il rimborso avviene riscuotendo l'affitto di una casa di proprietà del debitore. Per quanti anni, mesi, giorni, ore il creditore potrà tenere la casa, se il suo affitto è di 30 libre all'anno?”

Fibonacci lo risolve in questo modo: Il creditore guadagnava 4 denari per libra al mese; ricordando che:

1 Soldo = 12 Denari e 1 Libra = 20 Soldi,

il guadagno era di 4 soldi per libra all'anno; questi soldi corrispondono ad 1/5 di una libra; Fibonacci scrive che di 5 si fa 6, cioè 5 libre dopo un anno producono un interesse pari a 1, e quindi il montante di 5 è 6. Siccome la pigione si sottrae ogni anno dal capitale e dall'interesse, questo problema può essere assimilato al seguente problema di viaggi:

"Un tale aveva 100 libre, con le quali di 5 faceva 6 ad ogni viaggio e spendeva 30 libre. Quanti viaggi faceva con esse?"

Fibonacci scrive che "sono da cercare le riduzioni del capitale di anno in anno". Poiché "di 5 si fa 6", su 100 libre si avrà un interesse di 1/5∙100 = 20 libre all'anno, che sommate alle 100 danno 120 libre tra capitale e frutto dopo il primo anno; detraendo da queste le 30 libre di pigione si ottengono 90 libre. Per arrivare a 100 mancano 10 libre, che "sono la riduzione del primo anno" (è l'attuale quota di capitale o meglio quota d'ammortamento, in quanto è la somma devoluta all'ammortamento). A questo punto sulle 90 libre rimaste alla fine dell'anno si avrà un interesse di 1/5∙90 = 18, che sommate alle 90 libre danno 108 libre; a queste detraendo la pigione di 30 libre si ottengono 78 libre. Per arrivare a 90 libre ne mancano 12: queste "sono la riduzione (cioè la quota d'ammortamento) del secondo anno". Si nota che nel primo anno il capitale diminuisce di 10 libre, nel secondo di 12 libre, cioè le diminuzioni avvengono in modo proporzionale (da 10 a 12): questo è come 10 sta a 12, ossia 5 sta a 6, e quindi allo stesso modo 12, che è la diminuzione del secondo anno, starà alla diminuzione del terzo, e così via… In questo modo, Fibonacci imposta un piano di ammortamento francese, usando l'anno commerciale (360 giorni) e la giornata evangelica di 12 ore, e conclude che il prestito sarà estinto in 6 anni, 8 giorni e ore 5 + 13/29.

Esempio di problema contenuto in un trattato d'abaco

In seguito al Liber Abbaci ci fu una diffusione delle scuole d'abaco dove gli studenti imparavano a fare di conto e a risolvere svariati problemi commerciali, studiando su specifici Trattati d'abaco.

Di seguito è riportato un classico esempio di problema finanziario contenuto in un Trattato d'abaco:

"Un tale con 60 libre in 8 mesi guadagna 5 libre, a che interesse mensile fu prestata 1 libra?"

Dividendo 5 per 8 si ottiene il guadagno al mese, cioè 5/8 di libra. Noto che 1 libra è pari a 20 soldi e che 1 soldo è pari a 12 denari, 5/8 di libra corrispondono a 12 soldi e 6 denari, e convertendo tutto in denari, a 150 denari. Dividendo i 150 denari per le 60 libre prestate, si ottiene che il guadagno per libra al mese è di 2 denari e ½ (il che equivale ad un tasso d'interesse di circa l'1,04 %).

Attualmente scriveremmo $I=C\cdot \ i\cdot \ t$, da cui $i=I/(C\cdot \ t)=5/(60\cdot \ 8)$ che è più immediato, ma il risultato ed il metodo non cambiano.

Problemi di Cardano e Tartaglia

Nel XVI secolo si distinguono due matematici, Cardano e Tartaglia, entrambi di formazione abacista, che risolvono particolari problemi.

Il problema di Cardano è un problema contenuto nel testo Ars Magna a Norimberga nel 1545, in cui si determina il tasso annuo effettivo corrispondente al 10% nominale assunto convertibile due volte all'anno. Il problema è risolto nel seguente modo, di una semplicità estrema:

$1,05\cdot \ 1,05=1,1025\$

$1,1025-1,000=0,1025\$ ossia 10,25%

Il problema di Tartaglia invece è più complesso ed è contenuto nel suo Trattato Generale (1560):

"Un mercante concede un prestito di 2814 ducati a condizione che gli vengano 618 ducati all'anno per nove anni alla fine dei quali i 2814 ducati si considerano rimborsati. Quale saggio di interesse composto ottiene il mercante del suo denaro?"

Indicando con $A\$ l'ammontare del prestito, $R\$ la rata annua costante d'ammortamento in $n\$ anni al tasso $i\$, Tartaglia, considerò la formula nota per il calcolo del valore attuale del prestito: $R=A{\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}\$

Poiché all'epoca non esistevano ancora i logaritmi, ricavò da questa l'uguaglianza:

${\frac {R}{R-iA}}=(1+i)^{n}\$

da cui si ottiene:

$i={\frac {R(1-(1+i)^{-n})}{A}}\$

e la risolse per tentativi cioè, ponendo $R=618\$ e $A=2814\$, provò diversi valori di $i\$ fino a quando, con approssimazioni successive, trovò il valore $i=0,16335\$ per il quale l'uguaglianza suddetta fu verificata con sufficiente approssimazione.

Per $i=0,16335\$ si ha:

${\frac {R}{(R-iA)}}={\frac {618}{[(618-0,16335)\cdot \ 2184]}}=3,903\$

e:

$(1+i)^{n}=(1,16335)^{9}=1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335\cdot \ 1,16335=3,903\$

Problema per Re Enrico (equivalenza finanziaria)

Per risolvere il seguente problema Trenchant a Lione costruì delle tavole per l'interesse composto, che furono le prime ad essere rese pubbliche in Europa nel 1558.

Nel 1555 Re Enrico chiese due prestiti ai suoi banchieri: - Il primo era all'interesse del 4% pagabile ad ogni mercato: questo interesse era preferito dai banchieri rispetto al 16% annuo, in quanto vi erano 4 mercati all'anno ed il tasso effettivo corrispondente risultava del 16,986%. - Nel secondo il Re avrebbe rimborsato il 5% della somma ad ogni mercato sino al 41-esimo pagamento, dopo il quale il debito sarebbe stato estinto. Quale dei due prestiti era più vantaggioso per i banchieri?

Trenchant capì che per confrontare i tassi dei due prestiti non era necessario convertire il 4% trimestrale del primo prestito ad un tasso annuo; poiché non vi erano ancora tavole dei logaritmi e non possedeva tavole dei montanti calcolò il tasso di interesse $i\$ del secondo prestito per tentativi, mediante approssimazioni successive. Dopo una serie di lunghissimi calcoli trovò che il tasso del secondo prestito era pari al 4% e dunque che i due prestiti erano equivalenti per i banchieri.

Trenchant decise allora di utilizzare i risultati ottenuti dalla risoluzione del problema sopra citato, per costruire delle tavole per l'interesse composto, in modo tale da poter risolvere più velocemente questo ed altri tipi di problemi.

Nonostante le tavole di $(1+i)^{n}\$ fossero limitate e considerassero solo due tassi di interesse, utilizzando una tavola moderna si ottiene comunque che il tasso del secondo prestito è veramente molto vicino al 4% (per interpolazione si ha $i=0,03998\$ ).

Nel XVII secolo si ebbe l'invenzione dei logaritmi ad opera di Napier e Bürgi (che portò alla costruzione di tavole per il calcolo dei montanti di capitali in regime di capitalizzazione composta e di Tavole delle progressioni aritmetiche e geometriche) che, unitamente all'introduzione della geometria cartesiana contribuì allo sviluppo di nuove metodologie di calcolo per la matematica finanziaria: i metodi più efficaci furono quelli basati sugli sviluppi in serie, scoperti da P.Mengoli nel 1659 e Newton nel 1666. Grazie ad essi fu possibile tabulare nei secoli successivi diverse funzioni matematiche utili per il calcolo dell'interesse composto.

Bibliografia

Gli esercizi e le note storiche sono tratte dai seguenti testi.

• Vianelli S., Dai primi calcoli dell'interesse composto alle attuali applicazioni della matematica finanziaria, Economia e Credito, Nuova Serie-XVII 4, 1977 pp. 690–725
• Vianelli S., Una breve storia del calcolo dell'interesse composto, Economia e Credito, 1967
• Costantini Fabbrizi, La matematica finanziaria, tesina del corso di Storia della matematica tenuto dal prof. Pietro Nastasi all'università di Palermo
• Dolci Paolo V., La matematica finanziaria dalle figurae indorum ai logaritmi: frammenti di un discorso storico in Dalla Comunità Europea verso l'Unione Europea: problemi e prospettive per il futuro, a cura di G. Savio, CEDAM, 2000
• Franci R., Toti Rigatelli L., La matematica nella tradizione dell'abaco nel XIV e XV secolo, in Storia sociale e culturale d'Italia, vol. V, Bramante, 1989, pp. 68–94