Proporzionalità matematica (scuola media)

La proporzionalità, cioè la relazione tra grandezze o cose tra di loro proporzionali, si divide in diretta e inversa.

Proporzionalità diretta

Due grandezze variabili (che possono variare) Y e X che dipendono l’ una dall'altra si dice che sono direttamente in proporzione fra loro se: quando la X diventa doppia, tripla, quadrupla,… anche la Y diventa doppia, tripla, quadrupla,….

Es.

Peso delle mele in kg	Costo delle mele in euro
1	3,00
2	6,00
3	9.00
4	12,00
5	15,00
...	...
X	Y

Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali:

• Il peso di una merce ed il suo costo in euro
• Il lato di un poligono regolare e il suo perimetro

Il rapporto tra X e Y è costante 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15 = Y/X=1/3

Rappresentazione grafica della proporzionalità diretta

La proporzionalità diretta può essere rappresentata sul piano cartesiano. Il diagramma ottenuto rappresentando la proporzionalità diretta è una semiretta uscente dall'origine degli assi. Per esempio la relazione Y = 2X si rappresenta con il seguente grafico.

Grafico della funzione di proporzionalità diretta

X	Y
1	2
2	4
3	6
4	8

Problemi del tre semplice diretto

Prendiamo come esempio : il peso di alcune mele e il loro costo in euro

Il signor Mario compra 3 kg di mele che costano un 3 euro al kg. Se avesse comprato 10 kg di mele quanto avrebbe speso?

DATI: • 3 kg = peso mele • 3 euro = costo al kg • 10 kg = peso mele • Costo di 10 kg di mele = ?

PROCEDIMENTO:

peso mele in kg	costo mele in euro
3	9
10	X

RISOLUZIONE: 3:10=9:X X =(10X9):3=30 euro

RISPOSTA: Il signor Mario se avesse comprato 10 kg di mele avrebbe speso 30 euro

Si dicono problemi del tre semplice perché si sanno tre dati e si deve calcolare il quarto , utilizzando le proporzioni.

Proporzionalità inversa

Due grandezze variabili X e Y si dice che sono inversamente in proporzione se quando la X diventa doppia, tripla, quadrupla,… la Y diventa la meta, la terza parte,la quarta parte,…

Es:

numero operai	tempo impiegato per compiere un determinato lavoro
1	18
2	9
3	6
6	3
9	2
18	1

Sono esempi di proporzionalità inversa:

• Il numero di operai e il tempo impiegato per compiere un certo lavoro
• La velocità di un mezzo e il tempo in piegato per percorrere un dato tragitto

Il prodotto tra X e Y è costante 1X18= 18 2X9=18 3X6=18 9X2=18 18X1=18 YxY=18

Rappresentazione grafica della proporzionalità inversa

La proporzionalità inversa può essere rappresentata sul piano cartesiano. Il diagramma ottenuto rappresentando la proporzionalità inversa è un'iperbole equilatera. '

Grafico della funzione di proporzionalità inversa

K=XxY=6

X	Y
6	1
3	2
2	3
1	6

Problemi del tre semplice inverso

Prendiamo come esempio il numero di operai e il tempo impiegato per svolgere un determinato lavoro

Per compiere un certo lavoro 10 operai ci impiegano 20 giorni. Quanto ci impiegherebbero 50 operai a compiere lo stesso lavoro

DATI: • 10 = numero operai • 20 = tempo impiegato per compiere il lavoro • 50= numero operai • Tempo impiegato con 50 operai per compiere il lavoro = ?

PROCEDIMENTO: Numero operai Giorni impiegati per compiere il lavoro

numero operai	tempo impiegato per compiere il lavoro
10	20
50	X

RISOLUZIONE:

10:50=X:20 X=10X20=200:50=4 RISPOSTA: 50 operai a compiere lo stesso lavoro ci impiegherebbero 4 giorni

Si dicono problemi del tre semplice perché si sanno tre dati e si deve calcolare il quarto , utilizzando le proporzioni.