Oscillatore armonico (meccanica quantistica)

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lezione
Oscillatore armonico (meccanica quantistica)
Tipo di risorsa Tipo: lezione
Materia di appartenenza Materia: Meccanica quantistica

IntroduzioneModifica

In meccanica classica, si definisce oscillatore armonico (nel seguito abbreviato in O.A.) un sistema meccanico soggetto ad una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio; si tratta di un problema ampiamente studiato, di cui è nota la soluzione. Inizieremo col considerare il caso più semplice di un sistema unidimensionale, per poi generalizzare la trattazione in seguito.

In un O.A. unidimensionale, la particella è vincolata a muoversi su di un asse. Sia   la coordinata della sua posizione sull'asse, con il centro della forza come origine,   il suo momento,   la sua massa e   la forza di richiamo cui è soggetta. Il problema corrispondente in meccanica quantistica è quello di una particella di massa  , con Hamiltoniana

 

con la coordinata   e il momento   legate dalla relazione

 

Autovalori e autovettori dell'HamiltonianaModifica

Per semplificare la trattazione ed evitare di riscrivere le costanti in ogni calcolo, poniamo:

 

Trasformiamo il nostro problema in quello equivalente di trovare gli autovalori e di costruire gli autovettori dell'operatore

 

Il problema può essere risolto considerando ad esempio la rappresentazione  , e risolvendo l'equazione di Schrödinger (indipendente dal tempo) associata, ovvero, essendo  

 

Tuttavia seguiremo un metodo diverso, dovuto a Dirac, che consiste nella costruzione degli autovettori di   applicando un particolare operatore ad uno di essi.

Poniamo:

 

Ognuno di tali operatori è l'hermitiano coniugato dell'altro, e si verifica facilmente che:

 

Ponendo  , si ricava[1]:

 

Abbiamo così cambiato il nostro problema in quello equivalente di costruire gli autovettori di   (si vede subito che si tratta di un operatore hermitiano).


Teorema: Caratterizzazione degli autoavalori di  

Se   è un autovettore di  , appartenente all'autovalore  , allora:

  1.  
  2.  
  3. Se   è un vettore non nullo di norma   ed è un autovettore di   appartenente all'autovalore  
  4.   è sempre un vettore non nullo di norma   ed è un autovettore di   appartenente all'autovalore  


Sia ora  ; possiamo applicare il teorema al vettore  , appartenente all'autovalore  : questo implica  . Se  , possiamo applicare il teorema al vettore  . Iterando questo ragionamento, costruiamo un insieme di autovettori

 

appartenenti rispettivamente agli autovalori

 

NoteModifica

  1.  

BibliografiaModifica