Numeri finiti

È importante capire che il risultato di un calcolo eseguito dal calcolatore non è esatto.

Rappresentazione di un numero intero

Normalmente, un numero intero $n$ con generica base $\beta >1$ si rappresenta come

$n=d_{n}\beta ^{n}+d_{n-1}\beta ^{n-1}+\dots +d_{1}\beta +d_{0}$.

Ad esempio, il numero 2657 in base 10 si può rappresentare come $2\cdot 10^{3}+6\cdot 10^{2}+5\cdot 10^{1}+7$.

Enunciamo allora il Teorema di rappresentazione:

Dato un intero $\beta >1$, un numero reale $x\neq 0$ si può rappresentare univocamente nel modo:

$x=\operatorname {sgn}(x)(d_{1}\beta ^{-1}+d_{2}\beta ^{-2}+\dots )\beta ^{p}=\operatorname {sgn}(x)m\beta ^{p}$

La mantissa $m$ verifica poi le seguenti condizioni:

1. $0\leq d_{i}\leq \beta -1$
2. $d_{1}\neq 0$ e $d_{i}$ non tutti uguali a $\beta -1$ a partire da un indice in poi.

Il numero $p$ viene detto caratteristica di $x$.

La rappresentazione di un numero del tipo

$x=\pm (d_{1}d_{2}\dots d_{n})\beta ^{p}$

è detta rappresentazione scientifica normalizzata.

Esempio

$1.235=(1\cdot 10^{-1}+2\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+5\cdot 10^{-4})\cdot 10^{1}$

Conversione di basi

Sia $n\in \mathbb {N} \setminus 0$. Allora ...

Numeri finiti

Si definisce l'insieme dei numeri macchina un insieme denotato con $\mathbb {F}$ e formato in questo modo:

$\mathbb {F} (\beta ,t,L,U)=\{0\}\cup \left\{x\in \mathbb {R} \mid x=\operatorname {sgn}(x)\beta ^{p}\sum _{i=1}^{t}d_{i}\beta ^{-i}\right\}$

Tale insieme ha $t$ cifre significative, base $\beta$ e range di cifre $(L,U)$.